Question

（本小題滿分12分）

已知函數(shù)，且。

   （I）試用含的代數(shù)式表示；

   （Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；

   （Ⅲ）令，設(shè)函數(shù)在處取得極值，記點(diǎn)，證明：線段與曲線存在異于、的公共點(diǎn)。

Answer 1

（I）

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為R；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為。

（Ⅲ）證明見解析。

解析:

解法一：

（I）依題意，得

     由得

（Ⅱ）由（I）得

      故

      令，則或

      ①當(dāng)時(shí)，

      當(dāng)變化時(shí)，與的變化情況如下表：

	+	—	+
	單調(diào)遞增	單調(diào)遞減	單調(diào)遞增

由此得，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為

②由時(shí)，，此時(shí)，恒成立，且僅在處，故函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為R

③當(dāng)時(shí)，，同理可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為

綜上：

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為R；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，得

     由，得

     由（Ⅱ）得的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為

     所以函數(shù)在處取得極值。

     故

     所以直線的方程為

     由得

     令

     易得，而的圖像在內(nèi)是一條連續(xù)不斷的曲線，

     故在內(nèi)存在零點(diǎn)，這表明線段與曲線有異于的公共點(diǎn)

解法二：

（I）同解法一

（Ⅱ）同解法一。

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，得，由，得

由（Ⅱ）得的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，所以函數(shù)在處取得極值，

故

所以直線的方程為

由得

解得

所以線段與曲線有異于的公共點(diǎn)。