Question

9．函數(shù)f（x）=x³+ax，對(duì)|x|≤3時(shí)，總有|f（x）|≤16成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是-12≤a≤-$\frac{11}{3}$．

Answer 1

分析 求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），對(duì)a分類討論，求出對(duì)應(yīng)f（x）的最大值f（x）_max，使f（x）_max≤16，從而求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=x³+ax，∴f′（x）=3x²+a，
對(duì)a分類討論，∵|x|≤3，∴x²≤9；
故分3類：
①a≥0時(shí)，f′（x）≥0恒成立，f（x）單調(diào)遞增，
∴f（x）_max=f（3）=27+3a≤16無解；
②a＜-27時(shí)，f′（x）≤0恒成立，f（x）單調(diào)遞減，
f（x）_max=f（-3）=-27-3a≤16無解；
③-27≤a＜0時(shí)，令f′（x）≥0，
解得x≥$\sqrt{-\frac{a}{3}}$或x≤-$\sqrt{-\frac{a}{3}}$，
此時(shí)f（x）只可能在極大值或端點(diǎn)處取到最大值，
故同時(shí)使$\left\{\begin{array}{l}{f（-\sqrt{-\frac{a}{3}}）≤16}\\{f（3）≤16}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a≥-12}\\{a≤-\frac{11}{3}}\end{array}\right.$，即-12≤a≤-$\frac{11}{3}$；
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是-12≤a≤-$\frac{11}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性與最值問題，也考查了分類討論思想的應(yīng)用問題，是綜合性題目．