Question

14．已知函數(shù)f（x）是定義在[a-a²，a+3]（a＞0）的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時單調(diào)遞增，f（1）=0，則f（lnx）＞0的解集為[e^-6，e^-1）∪（e，e⁶]．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)利用定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱求出a的值，結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：∵函數(shù)是偶函數(shù)，∴定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，
則a-a²+a+3=0，
即a²-2a-3=0，即a=3或a=-1（舍），
即函數(shù)的定義域為[-6，6]，
∵當(dāng)x≥0時單調(diào)遞增，f（1）=0，
∴f（lnx）＞0等價為f（lnx）＞f（1），
即f（|lnx|）＞f（1），
則1＜|lnx|≤6，
即-6≤lnx＜-1或1＜lnx≤6，
得e^-6≤x＜e^-1或e＜x≤e⁶，
故答案為：[e^-6，e^-1）∪（e，e⁶]

點(diǎn)評 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和性質(zhì)將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．