Question

15．設(shè)命題p：函數(shù)y=c^x在R上單調(diào)遞減
命題q：關(guān)于x不等式x+$\frac{1}{x+1}$＞2c對于x＞-1恒成立
如果p∨q是真命題，p∧q是假命題，求c的范圍．

Answer 1

分析 由函數(shù)y=c^x在R上單調(diào)遞減得c的范圍，由基本不等式求出x+$\frac{1}{x+1}$得最小值，結(jié)合x+$\frac{1}{x+1}$＞2c對于x＞-1恒成立求出c的范圍，最后由p∨q是真命題，p∧q是假命題，得p、q中一個真命題，一個假命題，從而求得c的范圍．

解答 解：p：函數(shù)y=c^x在R上單調(diào)遞減，即p：0＜c＜1．
∵x＞-1，∴x+1＞0，
由x+$\frac{1}{x+1}$=（x+1）+$\frac{1}{x+1}$-1＞$2\sqrt{（x+1）•\frac{1}{x+1}}-1=1$，
當(dāng)$x+1=\frac{1}{x+1}$，即x=0時x+$\frac{1}{x+1}$有最小值1，
∴2c＜1，得$c＜\frac{1}{2}$．
故q：$c＜\frac{1}{2}$．
∵p∨q是真命題，p∧q是假命題，∴p、q中一個真命題，一個假命題，
當(dāng)p是真命題，q是假命題時，$\frac{1}{2}≤c＜1$，
當(dāng)p是假命題，q是真命題時，c∈∅．
∴c的范圍是[$\frac{1}{2}$，1）．

點評 本題考查邏輯聯(lián)結(jié)詞的概念、函數(shù)和不等式的應(yīng)用，是中檔題．