Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{x-1}{x+1}$，x∈R且x≠-1，
（Ⅰ）就m的取值情況，討論關(guān)于x的方程f（x）-x=m在x∈[0，1]上的解；
（Ⅱ）若可變動(dòng)的實(shí)數(shù)x₁，x₂滿足f（3^x₁）+f（3^x₂）=1，求f（x₁+x₂）的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令y=$\frac{x-1}{x+1}$-x，從而求導(dǎo)y′=$\frac{（\sqrt{2}-1-x）（x+\sqrt{2}+1）}{（x+1）^{2}}$，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，從而確定解的個(gè)數(shù)；
（Ⅱ）由題意可得${3}^{{x}_{1}}$+${3}^{{x}_{2}}$=${3}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$-3，從而由基本不等式可得${3}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$-3≥2$\sqrt{{3}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$，從而可得x₁+x₂≥2（當(dāng)且僅當(dāng)x₁=x₂=1時(shí)，等號(hào)成立）；從而求最小值．

解答 解：（Ⅰ）令y=$\frac{x-1}{x+1}$-x，則y′=$\frac{（\sqrt{2}-1-x）（x+\sqrt{2}+1）}{（x+1）^{2}}$，
故y=$\frac{x-1}{x+1}$-x在[0，$\sqrt{2}$-1）上是增函數(shù)，在（$\sqrt{2}$-1，1]上是減函數(shù)；
y|_x=0=-1，y|_{x=$\sqrt{2}$-1}=2-2$\sqrt{2}$，y|_x=1=-1，
故當(dāng)m＜-1或m＞2-2$\sqrt{2}$時(shí)，方程f（x）-x=m在x∈[0，1]上無解；
當(dāng)m=2-2$\sqrt{2}$時(shí)，方程f（x）-x=m在x∈[0，1]上有一個(gè)解；
當(dāng)-1≤m＜2-2$\sqrt{2}$時(shí)，方程f（x）-x=m在x∈[0，1]上有兩個(gè)解．
（Ⅱ）∵f（3^x₁）+f（3^x₂）=1，
∴1-$\frac{2}{{3}^{{x}_{1}}+1}$+1-$\frac{2}{{3}^{{x}_{2}}+1}$=1，
即$\frac{2}{{3}^{{x}_{1}}+1}$+$\frac{2}{{3}^{{x}_{2}}+1}$=1，
即${3}^{{x}_{1}}$+${3}^{{x}_{2}}$=${3}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$-3，
又∵${3}^{{x}_{1}}$+${3}^{{x}_{2}}$≥2$\sqrt{{3}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$，
∴${3}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$-3≥2$\sqrt{{3}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$，
解得，${3}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$≥9，
故x₁+x₂≥2（當(dāng)且僅當(dāng)x₁=x₂=1時(shí)，等號(hào)成立）；
且函數(shù)f（x）=$\frac{x-1}{x+1}$在（-1，+∞）上是增函數(shù)，
故f（x₁+x₂）的最小值為f（2）=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及基本不等式的綜合應(yīng)用，屬于難題．