Question

已知，正三棱柱ABCA₁B₁C₁的所有棱長都為2，D為CC₁中點．求證：AB₁⊥平面A₁BD．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：取BC中點O，連接AO．可證AO⊥平面BCC₁B₁，連接B₁O，在正方形BB₁C₁C中，O，D分別為BC，CC₁的中點，可得AB₁⊥BD，又在正方形ABB₁A₁中，AB₁⊥A₁B，BD∩A₁B=B，即可證明AB₁⊥平面A₁BD．

解答： 證明：如圖，取BC中點O，連接AO．
∵△ABC為正三角形，
∴AO⊥BC．
∵正三棱柱ABCA₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，
∴AO⊥平面BCC₁B₁．
連接B₁O，在正方形BB₁C₁C中，O，D分別為BC，CC₁的中點，
∴B₁O⊥BD，
∴AB₁⊥BD．
又∵在正方形ABB₁A₁中，AB₁⊥A₁B，BD∩A₁B=B，
∴AB₁⊥平面A₁BD．

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力以及邏輯推理能力，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．