Question

已知函數(shù)f（x）=cosx，數(shù)列{a_n}中，a_n=

π

2n

n

i=1

f[

(i-1)π

2n

]，數(shù)列{b_n}中，b_n=

π

2n

n

i=1

f(

iπ

2n

)，n∈N^*，則下列說(shuō)法正確的是（　　）

• A、{a_n}是遞增數(shù)列且a_n＞1，{b_n}是遞減數(shù)列且b_n＞1
• B、{a_n}是遞增數(shù)列且a_n＜1，{b_n}是遞增數(shù)列且b_n＞1
• C、{a_n}是遞增數(shù)列且a_n＜1，{b_n}是遞減數(shù)列且b_n＜1
• D、{a_n}是遞減數(shù)列且a_n＞1，{b_n}是遞增數(shù)列且b_n＜1

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的函數(shù)特性

專(zhuān)題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：根據(jù)題意，得通項(xiàng)公式a_n、b_n，求出a₁、a₂的值，驗(yàn)證{a_n}是遞減的數(shù)列，且a_n＞1，求出b₁、b₂的值，驗(yàn)證{b_n}是遞增數(shù)列，且b_n＜1，得出正確的答案．

解答： 解：根據(jù)題意，得
a_n=

π

2n

（cos0+cos

1

2n

π+cos

2

2n

π+cos

3

2n

π+..+cos

n-1

2n

π），n∈N^*；
∴a₁=

π

2

cos0=

π

2

＞1，a₂=

π

4

（cos0+cos

1

4

π）=

π

4

×

2+ 2

2

＜

π

4

×2=

π

2

=a₁，
∴{a_n}是遞減的數(shù)列，且a_n＞1；
b_n=

π

2n

（cos

π

2n

+cos

2

2n

π+cos

3

2n

π+cos

4

2n

π+…+cos

n

2n

π），n∈N^*；
∴b₁=

π

2

cos

π

2

=0，b₂=

π

4

（cos

π

4

+cos

2π

4

）=

π

4

×

2

2

=

2 π

8

，
∴b₁＜b₂＜1，∴{b_n}是遞增數(shù)列；
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)通項(xiàng)公式，求出數(shù)列對(duì)應(yīng)的項(xiàng)，從而判定結(jié)論是否正確，是較難的題目．