Question

已知函數(shù)f（x）=2cosx（sinx+cosx）+m，（m∈R），在區(qū)間[0，

π

4

]內(nèi)最大值為

2

，
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）在△ABC中，三內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊分別為a，b，c，且f(

3

4

B)=1，a+c=2，求b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）利用函數(shù)的解析式通過(guò)二倍角公式以及兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，通過(guò)正弦函數(shù)的最值，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）利用f(

3

4

B)=1，求出B的值，通過(guò)a+c=2以及正弦定理，直接求b的表達(dá)式，通過(guò)A的范圍集合正弦函數(shù)的值的范圍，求解b取值范圍．

解答： 解：（1）f（x）=2cosx（sinx+cosx）+m
=2cosxsinx+2cos²x+m
=sin2x+cos2x+m+1
=

2

sin(2x+

π

4

)+m+1，
當(dāng)x∈[0，

π

4

]時(shí)，

2

sin(2x+

π

4

)最大值為

2

，
在區(qū)間[0，

π

4

]內(nèi)函數(shù)的最大值為

2

，
∴

2

+m+1=

2

∴m=-1
（2）f(

3

4

B)=1⇒

2

sin(

3

2

B+

π

4

)=1⇒

3

2

B+

π

4

=

3π

4

，（∵0＜B＜π）
解得B=

π

3

由正弦定理得：b=

a+c

sinA+sinC

•sinB=

3

2

•

2

sinA+sin( 2π 3 -A)

sinA+sin(

2π

3

-A)=sinA+

3

2

cosA+

1

2

sinA=

3

(

3

2

sinA+

1

2

cosA)=

3

sin(A+

π

6

)
∴

3

2

＜sinA+sin(

2π

3

-A)≤

3

，（當(dāng)A=

π

3

時(shí)取最大值

3

）
∴1≤b＜2，（當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)，b=1）

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，二倍角公式的應(yīng)用，正弦定理的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．