Question

3．如圖，已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，1），平行于OM的直線l在y軸上的截距為m（m≠0），直線l交橢圓于A，B兩個(gè)不同點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；   
（2）求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出橢圓的方程，利用長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，1），建立方程，求出a，b，即可求橢圓的方程；   
（2）由直線方程代入橢圓方程，利用根的判別式，即可求m的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)橢圓方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）
則$\left\{\begin{array}{l}{a=2b}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1}\end{array}\right.$…（2分）  
解得a²=8，b²=2…（5分）
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1；…（6分）
（2）∵直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m
又K_OM=$\frac{1}{2}$，∴l(xiāng)的方程為：y=$\frac{1}{2}$x+m                   
由直線方程代入橢圓方程x²+2mx+2m²-4=0，…（8分）
∵直線l與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)，
∴△=（2m）²-4（2m²-4）＞0，…（10分）
解得-2＜m＜2，且m≠0．  …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．