Question

10．已知直角三角形周長(zhǎng)為2，求該三角形面積最大值．

Answer 1

分析 設(shè)直角三角形的兩直角邊為a、b，斜邊為c，因?yàn)長(zhǎng)=a+b+c，c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，兩次運(yùn)用均值不等式即可求解．

解答 解：直角三角形的兩直角邊為a、b，斜邊為c，面積為s，周長(zhǎng)L=2，
由于a+b+$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=L≥2$\sqrt{ab}$+$\sqrt{2ab}$．（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）
∴$\sqrt{ab}$≤$\frac{L}{2+\sqrt{2}}$．
∴S=$\frac{1}{2}$ab≤$\frac{1}{2}$（$\frac{L}{2+\sqrt{2}}$）²
=$\frac{1}{2}$•$\frac{{L}^{2}}{6+4\sqrt{2}}$=$\frac{4}{2（6+4\sqrt{2}）}$=3-2$\sqrt{2}$．
故當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2-$\sqrt{2}$，該三角形的面積最大，且為3-2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 利用均值不等式解決實(shí)際問題時(shí)，列出有關(guān)量的函數(shù)關(guān)系式或方程式是均值不等式求解或轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵．