Question

1．求實(shí)數(shù)m的范圍，使關(guān)于x的方程x²+2（m-1）x+2m+6=0．
（1）有兩個(gè)實(shí)根，且一個(gè)比2大，一個(gè)比2小．
（2）有兩個(gè)實(shí)根α，β，且滿足0＜α＜1＜β＜4．
（3）至少有一個(gè)正根．

Answer 1

分析 （1）由題意知4+4（m-1）+2m+6＜0，從而解得；
（2）由題意得$\left\{\begin{array}{l}{2m+6＞0}\\{1+2（m-1）+2m+6＜0}\\{16+8（m-1）+2m+6＞0}\end{array}\right.$，從而解得；
（3）由題意得△=[2（m-1）]²-4（2m+6）≥0，再根據(jù)對(duì)稱軸及根與系數(shù)的關(guān)系確定根的位置即可．

解答 解：（1）由題意知，
4+4（m-1）+2m+6＜0，
解得，m＜-1；
（2）由題意得，
$\left\{\begin{array}{l}{2m+6＞0}\\{1+2（m-1）+2m+6＜0}\\{16+8（m-1）+2m+6＞0}\end{array}\right.$，
解得，-1.4＜m＜-$\frac{5}{4}$，
（3）由題意得，
△=[2（m-1）]²-4（2m+6）≥0，
解得，m≤-1或m≥5；
當(dāng)m≤-1時(shí)，1-m≥2＞0，
方程一定有一正根；
當(dāng)m≥5時(shí)，1-m≤-4，
又∵2m+6＞0，
∴方程x²+2（m-1）x+2m+6=0的兩根都是負(fù)根；
綜上所述，m≤-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次方程的根的個(gè)數(shù)及位置的判斷，屬于基礎(chǔ)題．