Question

12．已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，其離心率為$\frac{\sqrt{5}}{3}$，短軸的端點(diǎn)是B₁，B₂，點(diǎn)M（2，0）是x軸上的一定點(diǎn)，且MB₁⊥MB₂．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)M且斜率存在且不為0的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)x軸上是否存在定點(diǎn)P，使直線PA與PB的斜率互為相反數(shù)？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出橢圓方程，運(yùn)用離心率公式和垂直的條件：斜率之積為-1，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)M且斜率存在且不為0的直線為y=k（x-2），代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，再假設(shè)x軸上存在定點(diǎn)P，使直線PA與PB的斜率互為相反數(shù)，運(yùn)用斜率公式和點(diǎn)在直線上，化簡(jiǎn)整理，即可得到定點(diǎn)P．

解答 解：（1）設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
依題意可得，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，$\frac{-2}$•$\frac{2}$=-1，
又a²-b²=c²，
解得a=3，b=2．
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)M且斜率存在且不為0的直線為y=k（x-2），
代入橢圓方程，可得（4+9k²）x²-36k²x+36k²-36=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\frac{36{k}^{2}}{4+9{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{36{k}^{2}-36}{4+9{k}^{2}}$，
假設(shè)x軸上存在定點(diǎn)P（m，0），使直線PA與PB的斜率互為相反數(shù)．
即有$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-m}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-m}$=0，y₁=k（x₁-2），y₂=k（x₂-2），
化簡(jiǎn)可得（m+2）（x₁+x₂）-4m=2x₁x₂，
即有（m+2）•$\frac{36{k}^{2}}{4+9{k}^{2}}$-4m=2•$\frac{36{k}^{2}-36}{4+9{k}^{2}}$，
可得m=$\frac{9}{2}$．
則有x軸上存在定點(diǎn)P（$\frac{9}{2}$，0），使直線PA與PB的斜率互為相反數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率公式和方程的運(yùn)用，注意聯(lián)立直線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時(shí)考查直線的斜率公式的運(yùn)用，以及化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．