Question

1．若{a_n}為等差數(shù)列，{b_n}為等比數(shù)列，設(shè)c_n=a_nb_n，則我們經(jīng)常用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n，記S_n=f（n）．在這個(gè)過程中許多同學(xué)常將結(jié)果算錯(cuò)，為了減少出錯(cuò)，我們可代入n=1和n=2進(jìn)行檢驗(yàn)：計(jì)算S₁=f（1），檢驗(yàn)是否與a₁b₁相等；再計(jì)算S₂=f（2），檢驗(yàn)是否與a₁b₁+a₂b₂相等，如果兩處中有一處不等，則說明計(jì)算錯(cuò)誤．某次數(shù)學(xué)考試對(duì)“錯(cuò)位相減法”進(jìn)行了考查，現(xiàn)隨機(jī)抽取100名學(xué)生，對(duì)他們是否進(jìn)行檢驗(yàn)以及答案是否正確的情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到數(shù)據(jù)如表所示：

	答案正確	答案錯(cuò)誤	合計(jì)
檢驗(yàn)	35
未檢驗(yàn)			40
合計(jì)	50		100

（1）請(qǐng)完成上表；
（2）是否有95%的把握認(rèn)為檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果可以有效地避免計(jì)算錯(cuò)誤？
（3）在調(diào)查的100名學(xué)生中，用分層抽樣的方法從未檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果的學(xué)生中抽取8人，進(jìn)一步調(diào)查他們不檢驗(yàn)的原因，現(xiàn)從這8人中任取3人，記其中答案正確的是學(xué)生人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附：下面的臨界值表供參考

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.025	0.010
K0	2.706	3.841	5.024	6.635

（參考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，填寫列聯(lián)表即可；
（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算K²，對(duì)照臨界值得出結(jié)論；
（3）根據(jù)隨機(jī)變量X的可能取值，計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率值，
寫出X的分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（1）根據(jù)題意，填寫列聯(lián)表如下；

	答案正確	答案錯(cuò)誤	合計(jì)
檢驗(yàn)	35	25	60
未檢驗(yàn)	15	25	40
合計(jì)	50	50	100

（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{100{×（35×25-15×25）}^{2}}{50×50×60×40}$=$\frac{25}{6}$≈4.167＞3.841，
所以有95%的把握認(rèn)為檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果可以有效地避免計(jì)算錯(cuò)誤；
（3）8人中答案正確和答案錯(cuò)誤的學(xué)生分別有3人和5人，
則從這8人中任取3人，隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3，
則P（X=0）=$\frac{{C}_{5}^{3}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{5}{28}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{•C}_{5}^{2}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{15}{28}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{•C}_{5}^{1}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{15}{56}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{1}{56}$；
X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{5}{28}$	$\frac{15}{28}$	$\frac{15}{56}$	$\frac{1}{56}$

∴數(shù)學(xué)期望為E（X）=0×$\frac{5}{28}$+1×$\frac{15}{28}$+2×$\frac{15}{56}$+3×$\frac{1}{56}$=$\frac{9}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題，也考查了離散性隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問題，是中檔題．