Question

9．已知在（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{2\root{3}{x}}$）ⁿ的展開(kāi)式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)．
（1）求展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和；
（2）求C${\;}_{2}^{2}$+C${\;}_{3}^{2}$+C${\;}_{4}^{2}$+…+C${\;}_{n}^{2}$的值；
（3）求展開(kāi)式中系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）在二項(xiàng)式（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{2\root{3}{x}}$）ⁿ的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式中，令r=5，可得x的系數(shù)為0，求得n的值．再在二項(xiàng)式中，令x=1，可得展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和．
（2）利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，求得要求式子的值．
（3）設(shè)第r+1項(xiàng)的系數(shù)最大，利用通項(xiàng)公式列出不等式組，求得r的范圍，可得結(jié)論．

解答 解：（1）二項(xiàng)式（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{2\root{3}{x}}$）ⁿ的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T_r+1=${C}_{n}^{r}$•${（-\frac{1}{2}）}^{r}$•${x}^{\frac{n-2r}{3}}$，
令r=5，可得$\frac{n-2r}{3}$=0，求得n=10．
令x=1，可得展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和${（1-\frac{1}{2}）}^{10}$=$\frac{1}{1024}$．
（2）原式=C${\;}_{2}^{2}$+C${\;}_{3}^{2}$+C${\;}_{4}^{2}$+…+C${\;}_{n}^{2}$=${C}_{3}^{3}$+C${\;}_{3}^{2}$+C${\;}_{4}^{2}$+…+${C}_{10}^{2}$=${C}_{11}^{3}$=165．
（3）由$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{10}^{r}{{•（-\frac{1}{2}）}^{r}≥C}_{10}^{r-1}{•（-\frac{1}{2}）}^{r-1}}\\{{C}_{10}^{r}{{•（-\frac{1}{2}）}^{r}≥C}_{10}^{r+1}{•（-\frac{1}{2}）}^{r+1}}\end{array}\right.$，求得 $\frac{8}{3}≤r≤\frac{11}{3}$，∴r=3，
∴展開(kāi)式中系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)為T₄=-15${x}^{\frac{4}{3}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．