Question

10．已知圓C：x²+y²-6x-8y+24=0和兩點A（-m，0），B（m，0）（m＞0），若圓C上存在點P，使得$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}=0$，則m的最大值與最小值之差為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 圓C：（x-3）²+（y-4）²=1的圓心C（3，4），半徑r=1，設(shè)P（a，b）在圓C上，運用向量的加減和數(shù)量積運算可得，m²=a²+b²=|OP|²，m的最值即為|OP|的最值，由圓上一點與圓外一點的距離的最值性質(zhì)，即最值為d±r，即可得到所求差．

解答 解：圓C：（x-3）²+（y-4）²=1的圓心C（3，4），半徑r=1，
設(shè)P（a，b）在圓C上，則$\overrightarrow{AP}$=（a+m，b），$\overrightarrow{BP}$=（a-m，b），
由$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=0，
可得（a+m）（a-m）+b²=0，
即m²=a²+b²=|OP|²，
m的最大值即為|OP|的最大值，等于|OC|+r=5+1=6．
m的最小值即為|OP|的最小值，等于|OC|-r=5-1=4．
則m的最大值與最小值之差為6-4=2．
故選：B．

點評 本題考查實數(shù)的最值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和兩點距離公式的運用，以及圓上一點與圓外一點的距離的最值性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．