Question

5．對(duì)于定義在R上的函數(shù)f（x），定義同時(shí)滿(mǎn)足下列三個(gè)條件的函數(shù)為“Z函數(shù)”：
①對(duì)任意x∈（-∞，a]，都有f（x）=C₁；
②對(duì)任意x∈[b，+∞），都有f（x）=C₂；
③對(duì)任意x∈（a，b），都有（f（x）-C₁）（f（x）-C₂）＜0．（其中a＜b，C₁，C₂為常數(shù)）
（1）判斷函數(shù)f₁（x）=|x-1|-|x-3|+1和f₂（x）=x-|x-2|是否為R上的“Z函數(shù)”？
（2）已知函數(shù)g（x）=|x-2|-$\sqrt{{x^2}+mx+4}$，是否存在實(shí)數(shù)m，使得g（x）為R上的“Z函數(shù)”？若存在，求實(shí)數(shù)m的值；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）設(shè)f（x）是（1）中的“Z函數(shù)”，令h（x）=|f（x）|，若h（2a²+a）=h（4a），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)“Z函數(shù)”的定義，結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)作出圖象進(jìn)行判斷即可．
（2）結(jié)合“Z函數(shù)”的定義以及根式的性質(zhì)利用配方法進(jìn)行判斷求解．
（3）求出h（x）的解析式以及作出函數(shù)h（x）的圖象，討論變量的取值范圍解方程即可．

解答 解：（1）f₁（x）=|x-1|-|x-3|+1=$\left\{\begin{array}{l}{-1}&{x≤1}\\{2x-3}&{1＜x＜3}\\{3}&{x≥3}\end{array}\right.$，
作出函數(shù)f₁（x）的圖象如圖：
當(dāng)x≤1時(shí)，f（x）=-1，當(dāng)x≥3時(shí)，f（x）=3，
當(dāng)1＜x＜3時(shí)，-1＜f（x）＜3恒成立，
故f₁（x）=|x-1|-|x-3|+1是R上的“Z函數(shù)”，
f₂（x）=x-|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{2}&{x＞2}\\{2x-2}&{x≤2}\end{array}\right.$，
則當(dāng)x≤2時(shí)，函數(shù)f（x）不是常數(shù)，不滿(mǎn)足條件．②，故f₂（x）=x-|x-2|不是R上的“Z函數(shù)”．
（2）若g（x）=|x-2|-$\sqrt{{x^2}+mx+4}$是R上的“Z函數(shù)”，則滿(mǎn)足g（x）=|x-2|-|x+a|的形式，
若$\sqrt{{x^2}+mx+4}$=|x+a|，則平方得mx+4=2ax+a²，即$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{m=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{m=-4}\end{array}\right.$，
當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{m=-4}\end{array}\right.$時(shí)，g（x）=|x-2|-|x-2|=0，不滿(mǎn)足條件③，故此時(shí)g（x）不是“Z函數(shù)”，
當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{m=4}\end{array}\right.$時(shí)，g（x）=|x-2|-|x+2|=$\left\{\begin{array}{l}{4}&{x≤-2}\\{-2x}&{-2＜x＜2}\\{-4}&{x≥2}\end{array}\right.$，滿(mǎn)足條件①②③，故此時(shí)g（x）是“Z函數(shù)”，
故當(dāng)m=4時(shí)，g（x）為R上的“Z函數(shù)”．

（3）設(shè)f（x）是（1）中的“Z函數(shù)”，則f（x）=|x-1|-|x-3|+1=$\left\{\begin{array}{l}{-1}&{x≤1}\\{2x-3}&{1＜x＜3}\\{3}&{x≥3}\end{array}\right.$，
則h（x）=|f（x）|=$\left\{\begin{array}{l}{1}&{x≤1}\\{-2x+3}&{1＜x≤\frac{3}{2}}\\{2x-3}&{\frac{3}{2}＜x＜3}\\{3}&{x≥3}\end{array}\right.$，對(duì)應(yīng)的圖象如圖：

若h（2a²+a）=h（4a），
則①$\left\{\begin{array}{l}{2{a}^{2}+a≤1}\\{4a≤1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-1≤a≤\frac{1}{2}}\\{a≤\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，即-1≤a≤$\frac{1}{4}$時(shí)，h（2a²+a）=h（4a）=1，
②$\left\{\begin{array}{l}{2{a}^{2}+a≥3}\\{4a≥3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{a≥1或a≤-\frac{3}{2}}\\{a≥\frac{3}{4}}\end{array}\right.$即a≥1時(shí)，h（2a²+a）=h（4a）=3，
③$\left\{\begin{array}{l}{2{a}^{2}+a≤1}\\{4a=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{4a≤1}\\{2{a}^{2}+a=2}\end{array}\right.$，此時(shí)h（2a²+a）=h（4a）=1，
即$\left\{\begin{array}{l}{-1≤a≤\frac{1}{2}}\\{a=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a≤\frac{1}{4}}\\{a=\frac{-1±\sqrt{17}}{4}}\end{array}\right.$，即a=$\frac{1}{2}$或a=$\frac{-1-\sqrt{17}}{4}$．
④2a²+a=4a，即2a²=3a，得a=0或a=$\frac{3}{2}$，
綜上-1≤a≤$\frac{1}{4}$或a≥1或=$\frac{1}{2}$或a=$\frac{-1-\sqrt{17}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，結(jié)合函數(shù)的大小，利用分類(lèi)討論以及數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，綜合性較強(qiáng)，難度較大．