Question

5．對于定義在R上的函數(shù)f（x），定義同時滿足下列三個條件的函數(shù)為“Z函數(shù)”：
①對任意x∈（-∞，a]，都有f（x）=C₁；
②對任意x∈[b，+∞），都有f（x）=C₂；
③對任意x∈（a，b），都有（f（x）-C₁）（f（x）-C₂）＜0．（其中a＜b，C₁，C₂為常數(shù)）
（1）判斷函數(shù)f₁（x）=|x-1|-|x-3|+1和f₂（x）=x-|x-2|是否為R上的“Z函數(shù)”？
（2）已知函數(shù)g（x）=|x-2|-$\sqrt{{x^2}+mx+4}$，是否存在實數(shù)m，使得g（x）為R上的“Z函數(shù)”？若存在，求實數(shù)m的值；否則，請說明理由；
（3）設(shè)f（x）是（1）中的“Z函數(shù)”，令h（x）=|f（x）|，若h（2a²+a）=h（4a），求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)“Z函數(shù)”的定義，結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)作出圖象進行判斷即可．
（2）結(jié)合“Z函數(shù)”的定義以及根式的性質(zhì)利用配方法進行判斷求解．
（3）求出h（x）的解析式以及作出函數(shù)h（x）的圖象，討論變量的取值范圍解方程即可．

解答 解：（1）f₁（x）=|x-1|-|x-3|+1=$\left\{\begin{array}{l}{-1}&{x≤1}\\{2x-3}&{1＜x＜3}\\{3}&{x≥3}\end{array}\right.$，
作出函數(shù)f₁（x）的圖象如圖：
當x≤1時，f（x）=-1，當x≥3時，f（x）=3，
當1＜x＜3時，-1＜f（x）＜3恒成立，
故f₁（x）=|x-1|-|x-3|+1是R上的“Z函數(shù)”，
f₂（x）=x-|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{2}&{x＞2}\\{2x-2}&{x≤2}\end{array}\right.$，
則當x≤2時，函數(shù)f（x）不是常數(shù)，不滿足條件．②，故f₂（x）=x-|x-2|不是R上的“Z函數(shù)”．
（2）若g（x）=|x-2|-$\sqrt{{x^2}+mx+4}$是R上的“Z函數(shù)”，則滿足g（x）=|x-2|-|x+a|的形式，
若$\sqrt{{x^2}+mx+4}$=|x+a|，則平方得mx+4=2ax+a²，即$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{m=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{m=-4}\end{array}\right.$，
當$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{m=-4}\end{array}\right.$時，g（x）=|x-2|-|x-2|=0，不滿足條件③，故此時g（x）不是“Z函數(shù)”，
當$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{m=4}\end{array}\right.$時，g（x）=|x-2|-|x+2|=$\left\{\begin{array}{l}{4}&{x≤-2}\\{-2x}&{-2＜x＜2}\\{-4}&{x≥2}\end{array}\right.$，滿足條件①②③，故此時g（x）是“Z函數(shù)”，
故當m=4時，g（x）為R上的“Z函數(shù)”．

（3）設(shè)f（x）是（1）中的“Z函數(shù)”，則f（x）=|x-1|-|x-3|+1=$\left\{\begin{array}{l}{-1}&{x≤1}\\{2x-3}&{1＜x＜3}\\{3}&{x≥3}\end{array}\right.$，
則h（x）=|f（x）|=$\left\{\begin{array}{l}{1}&{x≤1}\\{-2x+3}&{1＜x≤\frac{3}{2}}\\{2x-3}&{\frac{3}{2}＜x＜3}\\{3}&{x≥3}\end{array}\right.$，對應(yīng)的圖象如圖：

若h（2a²+a）=h（4a），
則①$\left\{\begin{array}{l}{2{a}^{2}+a≤1}\\{4a≤1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-1≤a≤\frac{1}{2}}\\{a≤\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，即-1≤a≤$\frac{1}{4}$時，h（2a²+a）=h（4a）=1，
②$\left\{\begin{array}{l}{2{a}^{2}+a≥3}\\{4a≥3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{a≥1或a≤-\frac{3}{2}}\\{a≥\frac{3}{4}}\end{array}\right.$即a≥1時，h（2a²+a）=h（4a）=3，
③$\left\{\begin{array}{l}{2{a}^{2}+a≤1}\\{4a=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{4a≤1}\\{2{a}^{2}+a=2}\end{array}\right.$，此時h（2a²+a）=h（4a）=1，
即$\left\{\begin{array}{l}{-1≤a≤\frac{1}{2}}\\{a=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a≤\frac{1}{4}}\\{a=\frac{-1±\sqrt{17}}{4}}\end{array}\right.$，即a=$\frac{1}{2}$或a=$\frac{-1-\sqrt{17}}{4}$．
④2a²+a=4a，即2a²=3a，得a=0或a=$\frac{3}{2}$，
綜上-1≤a≤$\frac{1}{4}$或a≥1或=$\frac{1}{2}$或a=$\frac{-1-\sqrt{17}}{4}$．

點評 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，結(jié)合函數(shù)的大小，利用分類討論以及數(shù)形結(jié)合的思想進行求解，綜合性較強，難度較大．