Question

已知集合S={a₁，a₂，a₃，…，a_n}（n≥3），集合T⊆{（x，y）|x∈S，y∈S，x≠y}且滿足：?a_i，a_j∈S（i，j=1，2，3，…，n，i≠j），（a_i，a_j）∈T與（a_j，a_i）∈T恰有一個成立．對于T定義d_T（a，b）=

1，(a，b)∈T 0，(b，a)∈T

l_T（a_i）=d_T（a_i，a₁）+d_T（a_i，a₂）+…+d_T（a_i，a_i-1）+d_T（a_i，a_i+1）+…+d_T（a_i，a_n）（i=1，2，3，…，n）．
（Ⅰ）若n=4，（a₁，a₂），（a₃，a₂），（a₂，a₄）∈T，求l_T（a₂）的值及l(fā)_T（a₄）的最大值；
（Ⅱ）從l_T（a₁），l_T（a₂），…，l_T（a_n）中任意刪去兩個數(shù)，記剩下的n-2個數(shù)的和為M．求證：M≥

1

2

n（n-5）+3；
（Ⅲ）對于滿足l_T（a_i）＜n-1（i=1，2，3，…，n）的每一個集合T，集合S中是否都存在三個不同的元素e，f，g，使得d_T（e，f）+d_T（f，g）+d_T（g，e）=3恒成立，并說明理由．

Answer 1

考點：進(jìn)行簡單的合情推理

專題：綜合題,推理和證明

分析：（Ⅰ）利用d_T（a₂，a₁）=0，d_T（a₂，a₃）=0，d_T（a₂，a₄）=1，可得l_T（a₂）=1；利用l_T（a₄）=d_T（a₄，a₁）+d_T（a₄，a₂）+d_T（a₄，a₃）≤1+0+1=2，可得l_T（a₄）取得最大值2；
（Ⅱ）由d_T（a，b）的定義可知：d_T（a，b）+d_T（b，a）=1，設(shè)刪去的兩個數(shù)為l_T（a_k），l_T（a_m），則lT(ak)+lT(am)=

1

2

n(n-1)-M．由題意可知：l_T（a_k）≤n-1，l_T（a_m）≤n-1，且當(dāng)其中一個不等式中等號成立，即可得出結(jié)論；
（Ⅲ）對于滿足l_T（a_i）＜n-1（i=1，2，3，…，n）的每一個集合T，集合S中都存在三個不同的元素e，f，g，使得d_T（e，f）+d_T（f，g）+d_T（g，e）=3恒成立．

解答： 解：（Ⅰ）因為 （a₁，a₂），（a₃，a₂），（a₂，a₄）∈T，
所以 d_T（a₂，a₁）=0，d_T（a₂，a₃）=0，d_T（a₂，a₄）=1，故l_T（a₂）=1．…（1分）
因為 （a₂，a₄）∈T，所以 d_T（a₄，a₂）=0．
所以 l_T（a₄）=d_T（a₄，a₁）+d_T（a₄，a₂）+d_T（a₄，a₃）≤1+0+1=2．
所以 當(dāng)（a₂，a₄），（a₄，a₁），（a₄，a₃）∈T時，l_T（a₄）取得最大值2．…（3分）
（Ⅱ）由d_T（a，b）的定義可知：d_T（a，b）+d_T（b，a）=1．
所以 

n

i=1

lT(ai)=[dT(a1，a2)+dT(a2，a1)]+[dT(a1，a3)+dT(a3，a1)]

+…+[dT(a1，an)+dT(an，a1)]+…+[dT(an-1，an)+dT(an，an-1)]

=

C

2 n

=

1

2

n(n-1)．…（6分）
設(shè)刪去的兩個數(shù)為l_T（a_k），l_T（a_m），則lT(ak)+lT(am)=

1

2

n(n-1)-M．
由題意可知：l_T（a_k）≤n-1，l_T（a_m）≤n-1，且當(dāng)其中一個不等式中等號成立，
不放設(shè)l_T（a_k）=n-1時，d_T（a_k，a_m）=1，d_T（a_m，a_k）=0．
所以 l_T（a_m）≤n-2．…（7分）
所以l_T（a_k）+l_T（a_m）≤n-1+n-2=2n-3．
所以 lT(ak)+lT(am)=

1

2

n(n-1)-M≤2n-3，即M≥

1

2

n(n-5)+3．…（8分）
（Ⅲ）對于滿足l_T（a_i）＜n-1（i=1，2，3，…，n）的每一個集合T，集合S中都存在三個不同的元素e，f，g，使得d_T（e，f）+d_T（f，g）+d_T（g，e）=3恒成立，理由如下：
任取集合T，由l_T（a_i）＜n-1（i=1，2，3，…，n）可知，l_T（a₁），l_T（a₂），…，l_T（a_n）中存在最大數(shù)，不妨記為l_T（f）（若最大數(shù)不唯一，任取一個）．
因為 l_T（f）＜n-1，
所以 存在e∈S，使得d_T（f，e）=0，即（e，f）∈T．
由l_T（f）≥1可設(shè)集合G={x∈S|（f，x）∈T}≠∅．
則G中一定存在元素g使得d_T（g，e）=1．否則，l_T（e）≥l_T（f）+1，與l_T（f）是最大數(shù)矛盾．
所以d_T（f，g）=1，d_T（g，e）=1，即d_T（e，f）+d_T（f，g）+d_T（g，e）=3．…（14分）

點評：本題考查進(jìn)行簡單的合情推理，考查新定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度大．