Question

5．已知△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c．且$\frac{ac}{^{2}-{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\frac{sinAcosA}{cos（A+C）}$．
（1）求角A；
（2）當sinB-cos（C+$\frac{π}{12}$）取最大值時，求$\frac{a}$的值．

Answer 1

分析 （1）余弦定理應(yīng)用；（2）利用三角形內(nèi)角和、正弦定理化簡，求函數(shù)最值．

解答 解：（1）由余玄定理得：$cosB=\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$，即$\frac{1}{-2cosB}=\frac{sinAcosA}{-cosB}$
化簡得：sin2A=1
∵0＜A＜π
∴$2A=\frac{π}{2}∴A=\frac{π}{4}$
（2）由（1）知B+C=$\frac{3}{4}π$，得$C=\frac{3}{4}π-B$
$sinB-cos（C+\frac{π}{12}）=sinB-cos（\frac{5π}{6}-B）$=$\frac{1}{2}sinB+\frac{\sqrt{3}}{2}cosB=sin（B+\frac{π}{3}）$
∵$0＜B＜\frac{3π}{4}$
∴$當B+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}即B=\frac{π}{6}時，取得最大值$
由正弦定理得，$\frac{a}=\frac{sinB}{sinA}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了正余弦定理的應(yīng)用及三角函數(shù)最值的求法．