Question

16．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，短軸一個端點到右焦點的距離為$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線l：y=x+$\sqrt{2}$與橢圓C交于A，B兩點，其中O坐標原點，求△AOB的面積．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，a=$\sqrt{3}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直線方程與題意方程聯(lián)立化為：4x²-6$\sqrt{2}$x+3=0，
利用根與系數(shù)的關(guān)系可得|AB|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$，利用點到直線的距離公式可得：原點O到直線AB的距離d，利用S_△AOB=$\frac{1}{2}$d|AB|，即可得出．

解答 解：（1）由題意可得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，a=$\sqrt{3}$，a²=b²+c²，
聯(lián)立解得a=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{2}$，b=1．
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+\sqrt{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化為：4x²-6$\sqrt{2}$x+3=0，
∴x₁+x₂=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，x₁x₂=$\frac{3}{4}$．
∴|AB|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2×（\frac{9×2}{4}-4×\frac{3}{4}）}$=$\sqrt{3}$．
原點O到直線AB的距離d=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=1．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$d|AB|=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．