Question

8．函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{e^x}，x≤1\\-\frac{1}{x-1}，x＞1\end{array}$方程f（x）-k（x+1）=0有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（　　）

• A． （1，$\frac{e}{2}}$）
• B． （1，$\frac{e}{2}}$]
• C． （-∞，0）∪（1，$\frac{e}{2}}$]
• D． （-∞，0）∪（1，$\frac{e}{2}}$）

Answer 1

分析 做出f（x）和直線y=k（x+1）的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象判斷直線的斜率k的范圍．

解答 解：由f（x）-k（x+1）=0得f（x）=k（x+1）．
∵程f（x）-k（x+1）=0有兩個(gè)不等實(shí)根，∴f（x）和y=k（x+1）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．
做出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

由圖象可知當(dāng)k＜0時(shí)，直線y=k（x+1）與y=f（x）恒有2個(gè)交點(diǎn)，符合題意．
設(shè)直線y=k₁（x+1）經(jīng)過點(diǎn)（1，e），則k₁=$\frac{e}{2}$，
設(shè)直線y=k₂（x+1）與y=e^x相切，設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{{x}_{0}}={k}_{2}}\\{{y}_{0}={e}^{{x}_{0}}}\\{{y}_{0}={k}_{2}（{x}_{0}+1）}\end{array}\right.$，解得x₀=0，y₀=1，k₂=1，
∴當(dāng)1＜k≤$\frac{e}{2}$時(shí)，直線y=k（x+1）與y=f（x）有2個(gè)交點(diǎn)．
綜上，k的取值范圍是（-∞，0）∪（1，$\frac{e}{2}$]．
故選C：．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．