7.已知函數(shù)f(x)=x3+x2+ax+b.
(Ⅰ)當(dāng)a=-1時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)的圖象與直線y=ax恰有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)b的值.

分析 (Ⅰ) a=-1時(shí),f'(x)=3x2+2x-1=(x+1)(3x-1),由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f(x)的增區(qū)間.
(Ⅱ) 函數(shù)f(x)的圖象與直線y=ax恰有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),等價(jià)于f(x)-ax=0有兩個(gè)不等的實(shí)根.令g(x)=f(x)-ax=x3+x2+b,則g'(x)=3x2+2x=x(3x+2),由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出b.

解答 解:(Ⅰ) a=-1時(shí),f(x)=x3+x2-x+b,
所以f'(x)=3x2+2x-1=(x+1)(3x-1),
令f'(x)>0,得x<-1或$x>\frac{1}{3}$,
所以函數(shù)f(x)在(-∞,-1),$({\frac{1}{3},+∞})$內(nèi)是增函數(shù).
(Ⅱ) 函數(shù)f(x)的圖象與直線y=ax恰有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),
等價(jià)于f(x)-ax=0有兩個(gè)不等的實(shí)根.
令g(x)=f(x)-ax=x3+x2+b,所以g'(x)=3x2+2x=x(3x+2)
令g'(x)>0,得$x<-\frac{2}{3}$或x>0;令g'(x)<0得$-\frac{2}{3}<x<0$.
所以函數(shù)g(x)在$({-∞,-\frac{2}{3}})$和(0,+∞)上單調(diào)遞增;在$({-\frac{2}{3},0})$上單調(diào)遞減.
所以$x=-\frac{2}{3}$時(shí),函數(shù)g(x)取得極大值為$g({-\frac{2}{3}})=\frac{4}{27}+b$;
當(dāng)x=0時(shí)函數(shù)g(x)取得極小值為g(0)=b.
故$g({-\frac{2}{3}})=\frac{4}{27}+b=0$或g(0)=b=0.
所以$b=-\frac{4}{27}$或b=0.

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的增區(qū)間的求法,考查實(shí)數(shù)值的求法,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用.

練習(xí)冊系列答案
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78   16   65   72   08   20   63   14   07   02   43   69   97   28   01   98
32   04   92   34   49   35   82   00   36   23   48   69   69   38   74   81
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人數(shù)800500?
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