Question

7．如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD和側(cè)面BCC₁B₁都是矩形，E是CD的中點(diǎn)，D₁E⊥CD．

（1）求證；D₁E⊥底面ABCD；
（2）在所給方格紙中（方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1），將四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的三視圖補(bǔ)充完整，并根據(jù)三視圖，求出三棱錐B-DD₁E的體積．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質(zhì)得出BC⊥CD，BC⊥CC₁，于是BC⊥平面CC₁D₁D，故BC⊥D₁E，結(jié)合D₁E⊥CD得出D₁E⊥底面ABCD；
（2）根據(jù)三視圖可知DE=BC=D₁E=1，代入體積公式計(jì)算即可．

解答 證明：（1）∵底面ABCD和側(cè)面BCC₁B₁都是矩形，
∴BC⊥CD，BC⊥CC₁，又CD?平面CC₁D₁D，CC₁?平面CC₁D₁D，CD∩CC₁=C，
∴BC⊥平面CC₁D₁D．∵D₁E?平面CC₁D₁D，
∴BC⊥D₁E，又D₁E⊥CD，CD?平面ABCD，BC?平面ABCD，BC∩CD=C，
∴D₁E⊥平面ABCD．
（2）作出幾何體的三視圖如下：

由三視圖可知DE=D₁E=BC=1，
∴V${\;}_{B-D{D}_{1}E}$=$\frac{1}{3}$S${\;}_{△{D}_{1}DE}$•BC=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$=$\frac{1}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定，幾何體的三視圖與體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．