Question

12．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b（tanA+tanB）=$\sqrt{2}$ctanB，BC邊的中線長為1，則a的最小值為2$\sqrt{2}$-2．

Answer 1

分析 利用正弦定理化簡條件式可得cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由向量線性運算的幾何意義可得$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|$=2，兩邊平方得出b，c間的關系，使用基本不等式解出bc的范圍，于是a=|$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$|，兩邊平方即可求出a²的最小值．

解答 解：在△ABC中，∵b（tanA+tanB）=$\sqrt{2}$ctanB，∴b（$\frac{sinA}{cosA}+\frac{sinB}{cosB}$）=$\sqrt{2}c$$\frac{sinB}{cosB}$，
∴bsinC=$\sqrt{2}$csinBcosA，
∴bc=$\sqrt{2}$bccosA，∴cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵BC邊的中線長為1，∴$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|$=2，
∴c²+b²+2bccosA=4，即b²+c²=4-$\sqrt{2}$bc≥2bc，解得bc≤4-2$\sqrt{2}$．
∴a²=（$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$）²=b²+c²-2bccosA=4-2$\sqrt{2}$bc≥4-2$\sqrt{2}$（4-2$\sqrt{2}$）=12-8$\sqrt{2}$．
∴a的最小值為$\sqrt{12-8\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$-2．
故答案為：2$\sqrt{2}-2$．

點評 本題考查了正弦定理，向量在幾何中的應用，基本不等式的應用，屬于中檔題．