8.函數(shù)f(x)=cos2x+asinx+a+1,x∈R.
(Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)的最小值為g(a),求g(a)的表達(dá)式;
(Ⅱ)若對于任意的x∈R,f(x)≥0恒成立,求a的取值范圍;
(Ⅲ)若對于任意的a∈[-2,0],f(x)≥0恒成立,求x的取值范圍.

分析 (Ⅰ)利用公式sin2x+cos2=1和配方法對函數(shù)f(x)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,由正弦三角函數(shù)的最值和二次函數(shù)最值的求法可以求得g(a)的表達(dá)式;
(Ⅱ)f(x)≥0恒成立的條件是$\left\{\begin{array}{l}{a≥0}\\{1≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a<0}\\{2a+1≥0}\end{array}\right.$,由此求得a的取值范圍;
(Ⅲ)設(shè)F(a)是一次函數(shù)F(a)=a(sinx+1)+1+cos2x,所以斜率大于等于零,則:F(-2)≥0,即-2sinx-2+1+cos2x≥0,由此求得x的取值范圍即可.

解答 解:(Ⅰ)f(x)=cos2x+asinx+a+1=-sin2x+asinx+a+2=-[sinx-$\frac{a}{2}$]2+$\frac{{a}^{2}}{4}$+a+2.,
①當(dāng)$\frac{a}{2}$≥0即a≥0時(shí),函數(shù)在sinx=-1處取得最小值,g(a)=1;
②當(dāng)$\frac{a}{2}$<0即a<0時(shí),函數(shù)在sinx=1處取得最小值,g(a)=2a+1,
綜上,g(a)=$\left\{\begin{array}{l}{1(a≥0)}\\{2a+1(a<0)}\end{array}\right.$.
(Ⅱ)對于任意x∈R,f(x)≥0恒成立,
只需$\left\{\begin{array}{l}{a≥0}\\{1≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a<0}\\{2a+1≥0}\end{array}\right.$,
解得:a≥$-\frac{1}{2}$.
(Ⅲ)設(shè)F(a)=f(x)=a(sinx+1)+1+cos2x,
所以,F(xiàn)(a)是一次函數(shù),且斜率大于等于零,
要使任意的a∈[-2,0],F(xiàn)(a)=f(x)≥0恒成立,
只需:F(-2)≥0,即-2sinx-2+1+cos2x≥0
整理得:sinx∈[-2,0],即sinx≤0,
所以,x的取值范圍是{x|2kπ-π≤x≤2kπ,k∈Z}.

點(diǎn)評 本題主要考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵.

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