Question

13．已知函數(shù)f（x）=x³-3x²+ax+2，曲線y=f（x）在點（0，2）處的切線與x軸交點的橫坐標為-2．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求曲線y=f（x）與直線y=x-2交點個數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，求出切線的斜率，求出切線的方程，再令y=0，得到方程，解得即可；
（Ⅱ）求出導數(shù)和單調區(qū)間，畫出f（x）的圖象，以及直線y=kx-2，注意k=1的相切的情況，即可得出結論．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x³-3x²+ax+2的導數(shù)
f′（x）=3x²-6x+a，
則曲線y=f（x）在（0，2）處的切線斜率為a，
即有曲線y=f（x）在（0，2）處的切線方程為：y=ax+2，
令y=0，則x=-$\frac{2}{a}$，由-2=-$\frac{2}{a}$，即有a=1；
（Ⅱ）由f′（x）=3x²-6x+1，當1-$\frac{\sqrt{6}}{3}$＜x＜1+$\frac{\sqrt{6}}{3}$時，
f′（x）＜0，f（x）遞減，當x＞1+$\frac{\sqrt{6}}{3}$或x＜1-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
f′（x）＞0，f（x）遞增，如右圖，f（x）的圖象，
作出直線y=kx-2的圖象，恒過定點（0，-2），
令f′（x）=1，則x=0或2，切點為（0，2），（2，0）．
即k=1時，直線y=x-2與曲線y=f（x）相切，與曲線y=f（x）有兩個交點．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線方程，求單調區(qū)間，考查運算能力，屬于中檔題．