Question

17．如圖，在△ABC中，已知，AB=2，AC=3，BC=4，D是BC邊上的一點，∠BAD=45°，求tan∠DAC．

Answer 1

分析 在△ABC中由余弦定理求出cos∠BAC，由內(nèi)角的范圍和平方關(guān)系求出sin∠BAC，根據(jù)“∠DAC=∠BAC-∠BAD”和兩角差的余弦公式求出cos∠DAC，由平方關(guān)系求出sin∠DAC，由商的關(guān)系表示出tan∠DAC，利用完全平方和公式和分母有理化進(jìn)行化簡即可．

解答 解：在△ABC中，AB=2，AC=3，BC=4，
則由余弦定理得，cos∠BAC=$\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2•AB•AC}$=$\frac{4+9-16}{2×2×3}$=$-\frac{1}{4}$，
∵0＜∠BAC＜180°，
∴sin∠BAC=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠BAC}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
由∠BAD=45°得，cos∠DAC=cos（∠BAC-∠BAD）
=cos（∠BAC-45°）=cos∠BACcos45°+sin∠BACsin45°
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cos∠BAC+sin∠BAC）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$-\frac{1}{4}$+$\frac{\sqrt{15}}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}（\sqrt{15}-1）}{8}$，
∴sin∠DAC=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠DAC}$=$\frac{\sqrt{8+\sqrt{15}}}{4}$
∴tan∠DAC=$\frac{sin∠DAC}{cos∠DAC}$=$\frac{\sqrt{8+\sqrt{15}}}{4}×\frac{8}{\sqrt{2}（\sqrt{15}-1）}$=$\frac{\sqrt{2}•\sqrt{8+\sqrt{15}}}{\sqrt{15}-1}$
=$\frac{\sqrt{2}•\sqrt{8+\sqrt{15}}•（\sqrt{15}+1）}{14}$=$\frac{\sqrt{2}•\sqrt{（8+\sqrt{15}）•（\sqrt{15}+1）^{2}}}{14}$
=$\frac{\sqrt{2}•\sqrt{158+32\sqrt{15}}}{14}$=$\frac{\sqrt{79+16\sqrt{15}}}{7}$
=$\frac{\sqrt{64+2×8×\sqrt{15}+（\sqrt{15}）^{2}}}{7}$=$\frac{8+\sqrt{15}}{7}$．

點評 本題考查余弦定理，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，以及兩角差的余弦公式，考查化簡、變形能力．