Question

16．對于實數(shù)m，m＞0，存在函數(shù)f（x）=ax²（a＞0）圖象上兩點A、B，點A、B橫坐標(biāo)分別為1、m，使得$\overrightarrow{OA}$=λ（|$\overrightarrow{OB}$|$\overrightarrow{OC}$+|$\overrightarrow{OC}$|$\overrightarrow{OB}$）（λ為常數(shù)），其中點C（c，0）（c＞0），則實數(shù)m的取值范圍為（　�。�

• A． （1，+∞）
• B． （$\sqrt{2}$，+∞）
• C． （2，+∞）
• D． （4，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)向量的坐標(biāo)運算求出|$\overrightarrow{OB}$|$\overrightarrow{OC}$+|$\overrightarrow{OC}$|$\overrightarrow{OB}$=（mc+mc$\sqrt{1+{a}^{2}{m}^{2}}$，acm²，再由題意得到1+a²m²=m²-2m+1，分離參數(shù)m，得到m=$\frac{2}{1-{a}^{2}}$，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求出m的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=ax²（a＞0）圖象上兩點A、B，點A、B橫坐標(biāo)分別為1、m，
∴A（1，a），B（m，am²），
∵C（c，0），
∴$\overrightarrow{OA}$=（1，a），$\overrightarrow{OB}$=（m，am²），$\overrightarrow{OC}$=（c，0），
∴|$\overrightarrow{OB}$|=m$\sqrt{1+{a}^{2}{m}^{2}}$，|$\overrightarrow{OC}$|=c，
∴|$\overrightarrow{OB}$|$\overrightarrow{OC}$+|$\overrightarrow{OC}$|$\overrightarrow{OB}$=（mc+mc$\sqrt{1+{a}^{2}{m}^{2}}$，acm²），
∵$\overrightarrow{OA}$=λ（|$\overrightarrow{OB}$|$\overrightarrow{OC}$+|$\overrightarrow{OC}$|$\overrightarrow{OB}$），
∴（1，a）=[λmc（1+$\sqrt{1+{a}^{2}{m}^{2}}$）+λacm²），
∴λmc（1+$\sqrt{1+{a}^{2}{m}^{2}}$）=1，且λcm²=1，
∴1+$\sqrt{1+{a}^{2}{m}^{2}}$=m，
∴$\sqrt{1+{a}^{2}{m}^{2}}$=m-1，
∴m-1＞0，
∴1+a²m²=m²-2m+1，
∴（a²-1）m=-2，
∴m=$\frac{2}{1-{a}^{2}}$，
∴1-a²＞0，
即0＜a＜1，
∴m＞2
故選：C．

點評 本題以向量的坐標(biāo)運算為載體，考查了參數(shù)的取值范圍，以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求最值的問題，培養(yǎng)了轉(zhuǎn)化能力和運算能力，屬于中檔題．