Question

7．已知函數(shù)$f（x）=x+\frac{p}{x-1}$（p為常數(shù)，且p＞0），若f（x）在（1，+∞）上的最小值為4，則實(shí)數(shù)p的值為（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{9}{4}$
• C． 4
• D． $\frac{9}{2}$

Answer 1

分析 由x-1＞0，f（x）即為（x-1）+$\frac{p}{x-1}$+1，運(yùn)用基本不等式可得最小值，解方程可得p的值．

解答 解：由x＞1可得x-1＞0，即有f（x）=（x-1）+$\frac{p}{x-1}$+1
≥2$\sqrt{（x-1）•\frac{p}{x-1}}$+1=2$\sqrt{p}$+1，
當(dāng)且僅當(dāng)x-1=$\frac{p}{x-1}$，即x=1+$\sqrt{p}$處取得最小值，且為1+2$\sqrt{p}$，
由題意可得1+2$\sqrt{p}$=4，解得p=$\frac{9}{4}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用基本不等式，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．