Question

20．已知函數(shù)f（x）=e^x（x²-a），a∈R．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在（-3，0）上單調遞減，試求a的取值范圍；
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）的最小值為-2e，試求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用導數(shù)求出x=0處的切線斜率，根據(jù)點斜式寫出切線方程；
（2）函數(shù)f（x）在（-3，0）上單調遞減，即當x∈（-3，0）時，x²+2x-a≤0恒成立．要使得“當x∈（-3，0）時，x²+2x-a≤0恒成立”，等價于$\left\{{\begin{array}{l}{g（-3）≤0}\\{g（0）≤0}\end{array}}\right.$即$\left\{{\begin{array}{l}{a≥3}\\{a≥0}\end{array}}\right.$所以a≥3．   
（3）根據(jù)函數(shù)的單調性，得出函數(shù)f（x）的最小值只能在${x_2}=-1+\sqrt{a+1}$處取得．

解答 解：由題意可知f'（x）=e^x（x²+2x-a）．
（Ⅰ）因為a=1，則f（0）=-1，f'（0）=-1，
所以函數(shù)f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y-（-1）=-（x-0）．
即x+y+1=0．                                     
（Ⅱ）因為函數(shù)f（x）在（-3，0）上單調遞減，
所以當x∈（-3，0）時，f'（x）=e^x（x²+2x-a）≤0恒成立．
即當x∈（-3，0）時，x²+2x-a≤0恒成立．
顯然，當x∈（-3，-1）時，函數(shù)g（x）=x²+2x-a單調遞減，
當x∈（-1，0）時，函數(shù)g（x）=x²+2x-a單調遞增．
所以要使得“當x∈（-3，0）時，x²+2x-a≤0恒成立”，
等價于$\left\{{\begin{array}{l}{g（-3）≤0}\\{g（0）≤0}\end{array}}\right.$即$\left\{{\begin{array}{l}{a≥3}\\{a≥0}\end{array}}\right.$所以a≥3．      
（Ⅲ）設g（x）=x²+2x-a，則△=4+4a．
①當△=4+4a≤0，即a≤-1時，g（x）≥0，所以f'（x）≥0．
所以函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）單增，所以函數(shù)f（x）沒有最小值．
②當△=4+4a＞0，即a＞-1時，令f'（x）=e^x（x²+2x-a）=0得x²+2x-a=0，
解得${x_1}=-1-\sqrt{a+1}，{x_2}=-1+\sqrt{a+1}$
隨著x變化時，f（x）和f'（x）的變化情況如下：

x	$（-∞，-1-\sqrt{1+a}）$	$-1-\sqrt{1+a}$	$（-1-\sqrt{1+a}，-1+\sqrt{1+a}）$	$-1+\sqrt{1+a}$	$（-1+\sqrt{1+a}，+∞）$
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

當x∈$（-∞，-1-\sqrt{1+a}]$時，${x^2}≥{（-1-\sqrt{1+a}）^2}=2+a+2\sqrt{1+a}$．
所以${x^2}-a≥2+2\sqrt{1+a}＞0$．
所以f（x）=e^x（x²-a）＞0．
又因為函數(shù)f（x）的最小值為-2e＜0，
所以函數(shù)f（x）的最小值只能在${x_2}=-1+\sqrt{a+1}$處取得．
所以$f（-1+\sqrt{a+1}）={e^{-1+\sqrt{a+1}}}[{（-1+\sqrt{a+1}）^2}-a]=2{e^{-1+\sqrt{a+1}}}（1-\sqrt{a+1}）=-2e$．
所以${e^{-1+\sqrt{a+1}}}（\sqrt{a+1}-1）=e$．
易得$\sqrt{a+1}-1=1$．
解得a=3．                            
以下證明解的唯一性，僅供參考：
設$g（a）={e^{-1+\sqrt{a+1}}}（1-\sqrt{a+1}）$
因為a＞0，所以$-1+\sqrt{1+a}＞0$，$1-\sqrt{1+a}＜0$．
設$x=-1+\sqrt{1+a}＞0$，則$-x=1-\sqrt{1+a}$．
設h（x）=-xe^x，則h'（x）=-e^x（x+1）．
當x＞0時，h'（x）＜0，從而易知g（a）為減函數(shù)．
當a∈（0，3），g（a）＞0；當a∈（3，+∞），g（a）＜0．
所以方程${e^{-1+\sqrt{a+1}}}（\sqrt{a+1}-1）=e$只有唯一解a=3．

點評 本題主要考查了利用導數(shù)求某點處的切線方程，函數(shù)的最值與單調性判斷等綜合知識點，屬中等題．