Question

已知圓M：x²+y²-2y=24，直線l：x+y=11，l上一點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為a，過點(diǎn)A作圓M的兩條切線l₁，l₂，切點(diǎn)分別為B，C．
（1）當(dāng)a=0時，求直線l₁，l₂的方程；
（2）當(dāng)直線 l₁，l₂互相垂直時，求a的值；
（3）是否存在點(diǎn)A，使得

AB

•

AC

=-2？若存在，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）利用圓心到直線的距離等于半徑，求出直線的斜率，即可求直線l₁，l₂的方程；
（2）當(dāng)直線 l₁，l₂互相垂直時，四邊形MCAB為正方形，即可求a的值；
（3）設(shè)＜

AB

，

AC

＞=θ，可得

AB

•

AC

=(AM2-25)(1-

50

AM2

)=AM2+

25×50

2AM2

-75，利用圓心M到直線l的距離是5

2

，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1））圓M：x²+（y-1）²=25，圓心M（0，1），半徑r=5，A（0，11），設(shè)切線的方程為y=kx+11，圓心距d=

10

k2+1

=5，
∴k=±

3

，
∴所求直線l₁，l₂的方程為y=±

3

x+11；
（2）當(dāng)l₁⊥l₂時，四邊形MCAB為正方形，
∴|AM|=

2

|MB|=5

2

設(shè)A（a，11-a），M（0，1），則

a2+(10-a)2

=5

2

，
∴a²-10a+25=0，∴a=5；
（3）設(shè)＜

AB

，

AC

＞=θ，則

AB

•

AC

=|AB|2cos2θ=|AB|2(1-2sin2θ)，
又sinθ=

r

|AM|

，故

AB

•

AC

=(AM2-25)(1-

50

AM2

)=AM2+

25×50

2AM2

-75，
又圓心M到直線l的距離是5

2

，
∴AM²≥50，
∴

AB

•

AC

≥50+

25×50

50

-75=0，故點(diǎn)A不存在．

點(diǎn)評：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．