Question

6．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{1}{2}$，P是橢圓上的一點，且P到橢圓兩焦點的距離之和為4．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）直線l：y=x交橢圓于點D、E，求△PDE面積的最大值．

Answer 1

分析 根據(jù)橢圓的定義得出橢圓長軸的長，再由離心率得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，最后根據(jù)直線與圓錐曲線相切求得三角形面積的最大值．

解答 解：（1）根據(jù)橢圓的定義，PF₁+PF₂=2a=4，所以，a=2，
又因為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，所以，c=1，b=$\sqrt{a^2-c^2}$=$\sqrt{3}$，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）聯(lián)立直線y=x與橢圓方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，
解得D（$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，$\frac{2\sqrt{21}}{7}$），E（-$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，-$\frac{2\sqrt{21}}{7}$），∴DE=$\frac{4\sqrt{42}}{7}$，
由幾何關(guān)系可知，當(dāng)P到DE的距離最大時，△PDE的面積取得最大值，
設(shè)此時切線的方程為y=x+m，代入橢圓方程得，7x²+8mx+4m²-12=0，
由△=64m²-28（4m²-12）=0，解得m=±$\sqrt{7}$，
點P到直線y=x的距離就是兩平行線y=x，y=x+$\sqrt{7}$間的距離，即d=$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{14}}{2}$，
所以，△PDE面積的最大值為S_△PDE=$\frac{1}{2}$•DE•d=2$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了橢圓的定義和簡單幾何性質(zhì)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線與橢圓的位置關(guān)系，充分考查了確定幾何最值的思想與方法，屬于中檔題．