Question

在空間四邊形S-ABC中，SA=SB=SC，三角形ABC為等邊三角形，M，N分別是AB，SC的中點．
（1）求SM與BN的所成角；
（2）連接CM，過N作SM的 平行線NQ，交CM與Q，連接BQ，求∠BNQ．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：（1）連接CM，過N作NQ∥SM，并連接BQ，設(shè)SA=a，AB=b，根據(jù)中位線的性質(zhì)，直角三角形邊的關(guān)系以及余弦定理表示出BN，NQ，BQ，并根據(jù)余弦定理求出cos∠BNQ，從而求得∠BNQ，并根據(jù)∠BNQ的大小判斷該角是否是異面直線SM，BN所成的角，并求出這個角；
（2）根據(jù)（1）便知∠BNQ．

解答： 解：（1）如圖，連接CM，過N作SM的平行線NQ，交CM與Q，連接BQ；
∵設(shè)SA=a，AB=b，則SM=

a2- 1 4 b2

，NQ2=

1

4

a2-

1

16

b2；
BQ2=

1

4

(b2-

1

4

b2)+

1

4

b2=

7

16

b2；
cos∠BSC=

2a2-b2

2a2

，∴BN2=a2-

1

4

a2-a2•

2a2-b2

2a2

=

1

2

b2-

1

4

a2；
∴cos∠BNQ=

NQ2+BN2-BQ2

2NQ•BN

=

1 4 a2- 1 16 b2+ 1 2 b2- 1 4 a2- 7 16 b2

2NQ•BN

=0；
∴∠BNQ=90°；
∵NQ∥SM，∴∠BNQ是異面直線SM與BN的所成角，即所成的角為90°；
（2）由（1）知∠BNQ=90°．

點評：考查直角三角形邊的關(guān)系，中位線的性質(zhì)，余弦定理，異面直線所成的角的概念及求法．