Question

1．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1•a_n=a_n-a_n+1．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b_n=ln$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （I）a₁=1，a_n+1•a_n=a_n-a_n+1，變形$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=1，利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（II）b_n=ln$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=$ln\frac{n}{n+2}$=lnn-ln（n+2），利用“累加求和”即可得出．

解答 解：（I）∵a₁=1，a_n+1•a_n=a_n-a_n+1，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=1，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差數(shù)列，首項為1，公差為1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}=1+n-1$=n，解得a_n=$\frac{1}{n}$．
（II）b_n=ln$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=$ln\frac{n}{n+2}$=lnn-ln（n+2），
∴數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=（ln1-ln3）+（ln2-ln4）+（ln3-ln5）+…+（ln（n-1）-ln（n+1））+（lnn-ln（n+2））
=ln2-ln（n+1）-ln（n+2）
=$ln\frac{2}{（n+1）（n+2）}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式、對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了變形能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．