Question

8．極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xOy有相同的長度單位，以原點O為極點，以x軸為正半軸為極軸，已知斜率為$\sqrt{3}$的直線l經(jīng)過點A（2$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$），曲線C的直角坐標(biāo)方程為y²=8x．
（1）求直線l的參數(shù)方程和曲線C的極坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線l個曲線C交于M，N兩點，求弦長|MN|．

Answer 1

分析 （1）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$可把點A（2$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$）化為直角坐標(biāo)．進而得到參數(shù)方程．同理由曲線C的直角坐標(biāo)方程為y²=8x，可得極坐標(biāo)方程．
（2）把直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入曲線C的方程可得3t²-4t-84=0，利用|MN|=|t₁t₂|，即可得出．

解答 解：（1）把點A（2$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$）化為A$（2\sqrt{3}cos\frac{π}{6}，2\sqrt{3}sin\frac{π}{6}）$，即（3，$\sqrt{3}$）．
又斜率為$\sqrt{3}$，
∴直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
曲線C的直角坐標(biāo)方程為y²=8x，可得極坐標(biāo)方程：ρ²sin²θ=8ρcosθ，化為ρsin²θ=8cosθ．
（2）把直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入曲線C的方程y²=8x，可得3t²-4t-84=0，
∴t₁t₂=-28．
∴|MN|=|t₁t₂|=28．

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線參數(shù)方程的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．