Question

18．已知二次函數(shù)f（x）=x²+x的定義域?yàn)镈恰是不等式$\frac{2}{x+1}≥1$的解集，其值域?yàn)锳，函數(shù)g（x）=x³-3tx+$\frac{1}{2}t$的定義域?yàn)閇0，1]，值域?yàn)锽．
（1）求函數(shù)f（x）定義域?yàn)镈和值域A；
（2）是否存在負(fù)實(shí)數(shù)t，使得A⊆B成立？若存在，求負(fù)實(shí)數(shù)t的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若函數(shù)g（x）=x³-3tx+$\frac{1}{2}t$在定義域[0，1]上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）解不等式$\frac{2}{x+1}≥1$求出D，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出A；
（2）利用導(dǎo)數(shù)法，求出B，結(jié)合A⊆B，可得負(fù)實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（3）若函數(shù)g（x）=x³-3tx+$\frac{1}{2}t$在定義域[0，1]上單調(diào)遞減，則g′（x）=3x²-3t≤0在[0，1]上恒成立，解得答案．

解答 解：（1）解不等式$\frac{2}{x+1}≥1$得：x∈（-1，0]，
故二次函數(shù)f（x）=x²+x的定義域D=（-1，0]，
∵二次函數(shù)f（x）=x²+x的圖象是開(kāi)口朝上，且以直線x=-$\frac{1}{2}$為對(duì)稱軸的拋物線，
故二次函數(shù)f（x）=x²+x在x=-$\frac{1}{2}$時(shí)，取最小值$-\frac{1}{4}$，當(dāng)x=0時(shí)，取最大值0，
故二次函數(shù)f（x）=x²+x的值域A=[$-\frac{1}{4}$，0]；
（2）∵函數(shù)g（x）=x³-3tx+$\frac{1}{2}t$，
∴g′（x）=3x²-3t，
當(dāng)t＜0時(shí)，g′（x）≥0恒成立，
g（x）=x³-3tx+$\frac{1}{2}t$，x∈[0，1]為增函數(shù)，
此時(shí)B=[$\frac{1}{2}t$，$-\frac{5}{2}t+1$]，
若A⊆B，
則$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}t≤-\frac{1}{4}\\-\frac{5}{2}t+1≥0\end{array}\right.$，
解得：t≤$-\frac{1}{2}$；
（3）若函數(shù)g（x）=x³-3tx+$\frac{1}{2}t$在定義域[0，1]上單調(diào)遞減，
則g′（x）=3x²-3t≤0在[0，1]上恒成立，
即t≥x²，x∈[0，1]恒成立，
解得：t≥1

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是集合的包含關(guān)系，函數(shù)的定義域，值域，導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，難度較大，屬于難題．