Question

12．已知函數(shù)f（x）=2ax³-x²+$\frac{1}{27}$，若f（x）存在唯一的零點(diǎn)x₀，且x₀＞0，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （-1，1）
• B． （1，+∞）
• C． （1，+∞）∪（-∞，-1）
• D． （-∞，-1）

Answer 1

分析 分類討論：當(dāng)a≥0時(shí)，容易判斷出不符合題意；當(dāng)a＜0時(shí)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和極值之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為求極小值f（$\frac{1}{3a}$）＞0，求得a的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=2ax³-x²+$\frac{1}{27}$，
∴f′（x）=6ax²-2x=2x（3ax-1），f（0）=$\frac{1}{27}$；
①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-x²+$\frac{1}{27}$，有兩個(gè)零點(diǎn)，不成立；
②當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）=2ax³-x²+$\frac{1}{27}$，令f′（x）=2x（3ax-1），解得：x=0，x=$\frac{1}{3a}$，

x	（-∞，0）	0	（0，$\frac{1}{3a}$）	$\frac{1}{3a}$	（$\frac{1}{3a}$，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

∵x→-∞，f（x）→-∞，而f（0）=$\frac{1}{27}$＞0，
∴存在x＜0，使得f（x）=0，
不符合條件：f（x）存在唯一的零點(diǎn)x₀，且x₀＞0，應(yīng)舍去．
③當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）=2ax³-x²+$\frac{1}{27}$，令f′（x）=2x（3ax-1），解得：x=0，x=$\frac{1}{3a}$＜0，

x	（-∞，$\frac{1}{3a}$）	$\frac{1}{3a}$	（$\frac{1}{3a}$，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

而f（0）=1＞0，x→+∞時(shí)，f（x）→-∞，
∴存在x₀＞0，使得f（x₀）=0，
∵f（x）存在唯一的零點(diǎn)x₀，且x₀＞0，
∴極小值f（$\frac{1}{3a}$）=2a（$\frac{1}{3a}$）³-（$\frac{1}{3a}$）²+$\frac{1}{27}$＞0，
化為a²＞1，解得：a＞1或a＜-1，
∵a＜0，
∴a＜-1．
綜上可知：a的取值范圍是（-∞，-1）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、分類討論的思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．