【題目】已知函數(shù),對于任意的 ,都有, 當時,,且.
( I ) 求的值;
(II) 當時,求函數(shù)的最大值和最小值;
(III) 設函數(shù),判斷函數(shù)g(x)最多有幾個零點,并求出此時實數(shù)m的取值范圍.
【答案】(I);(II);(III)當 時,函數(shù)最多有個零點.
【解析】
(Ⅰ)根據(jù)條件,取特殊值求解;
(Ⅱ)根據(jù)定義,判斷函數(shù)的單調(diào)性,進而求出函數(shù)的最值;
(Ⅲ)根據(jù)定義,判斷函數(shù)為奇函數(shù),得出g(x)=f(x2﹣2|x|﹣m),令g(x)=0即f(x2﹣2|x|﹣m)=0=f(0),根據(jù)單調(diào)性可得 x2﹣2|x|﹣m=0,根據(jù)二次函數(shù)的性質可知最多有4個零點,且m∈(﹣1,0).
(I)令得,得.
令得,
令得
(II)任取且,則,
因為,即,
令
則.
由已知時,且,則,
所以 ,,
所以函數(shù)在R上是減函數(shù),
故 在單調(diào)遞減.
所以,
又,
由,得 ,
,
故.
(III) 令代入,
得,
所以,故為奇函數(shù).
∴
=
=
,
令,即,
因為函數(shù)在R上是減函數(shù),
所以,即,
所以當 時,函數(shù)最多有4個零點.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】醫(yī)藥公司針對某種疾病開發(fā)了一種新型藥物,患者單次服用制定規(guī)格的該藥物后,其體內(nèi)的藥物濃度隨時間的變化情況(如圖所示):當時,與的函數(shù)關系式為(為常數(shù));當時,與的函數(shù)關系式為(為常數(shù)).服藥后,患者體內(nèi)的藥物濃度為,這種藥物在患者體內(nèi)的藥物濃度不低于最低有效濃度,才有療效;而超過最低中毒濃度,患者就會有危險.
(1)首次服藥后,藥物有療效的時間是多長?
(2)首次服藥1小時后,可否立即再次服用同種規(guī)格的這種藥物?
(參考數(shù)據(jù):,)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】定義區(qū)間[x1 , x2]長度為x2﹣x1(x2>x1),已知函數(shù)f(x)= (a∈R,a≠0)的定義域與值域都是[m,n],則區(qū)間[m,n]取最大長度時a的值是 .
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【題目】心理學家發(fā)現(xiàn)視覺和空間能力與性別有關,某高中數(shù)學興趣小組為了驗證這個結論,從興趣小組中抽取50名同學(男30女20),給所有同學幾何題和代數(shù)題各一題,讓各位同學自由選擇一道題進行解答.選題情況如下表:(單位:人)
幾何題 | 代數(shù)題 | 合計 | ||
男同學 | 22 | 8 | 30 | |
女同學 | 8 | 12 | 20 | |
合計 | 30 | 20 | 50 |
(1)能否據(jù)此判斷有的把握認為視覺和空間能力與性別有關?
(2)以上列聯(lián)表中女生選做幾何題的頻率作為概率,從該校1500名女生中隨機選6名女生,記6名女生選做幾何題的人數(shù)為,求的數(shù)學期望和方差.
附表:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
參考公式:,其中.
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【題目】已知函數(shù)f(x)= (b∈R).若存在x∈[ ,2],使得f(x)+xf′(x)>0,則實數(shù) b的取值范圍是( )
A.(﹣∞, )
B.(﹣∞, )
C.(﹣∞,3)
D.(﹣∞, )
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【題目】如圖,幾何體EF﹣ABCD中,CDEF為邊長為2的正方形,ABCD為直角梯形,AB∥CD,AD⊥DC,AD=2,AB=4,∠ADF=90°.
(1)求證:AC⊥FB
(2)求二面角E﹣FB﹣C的大。
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【題目】古希臘著名的畢達哥拉斯學派把…這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”,而把…
這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”.如圖,可以發(fā)現(xiàn)任何一個大于的“正方形數(shù)”都可以看作兩個相鄰
“三角形數(shù)”之和,下列四個等式:①;②;③;
④ 中符合這一規(guī)律的等式是_____________.(填寫所有正確結論的編號)
……
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知().
(1)當時,求關于的不等式的解集;
(2)若f(x)是偶函數(shù),求k的值;
(3)在(2)條件下,設,若函數(shù)與的圖象有公共點,求實數(shù)b的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】,為兩個不同的平面,,為兩條不同的直線,下列命題中正確的是( )
①若,,則; ②若,,則;
③若,,,則 ④若,,,則.
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
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