Question

10．過棱長為1的正方體的一個頂點作該正方體的截面，若截面形狀為四邊形，則下列選項中不可能為該截面面積的是（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設(shè)過頂點A作正方體的截面AEFG與底面ABCD所成的角為θ，利用關(guān)系式：$\frac{{S}_{底面ABCD}}{{S}_{截面AEFG}}$=cosθ，得出S_截面AEFG＞1又當截面AEFG是正方體的對角面AB₁C₁D時，其面積最大，最大為$\sqrt{2}$，從而得到截面面積的取值范圍．

解答 解；如圖所示，
，，
設(shè)過頂點A作正方體的截面AEFG與底面ABCD所成的角為θ，
則有：$\frac{{S}_{底面ABCD}}{{S}_{截面AEFG}}$=cosθ，
∴S_截面AEFG=$\frac{{S}_{底面ABCD}}{cosθ}$＞1，
又當截面AEFG是正方體的對角面AB₁C₁D時，其面積最大，最大為$\sqrt{2}$，
則截面面積的取值范圍是 （1，$\sqrt{2}$]．
故選：D

點評 本小題主要考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征、正方體的結(jié)構(gòu)特征的應(yīng)用、正方體的截面等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力．