Question

5．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是邊長(zhǎng)為4的正三角形，側(cè)棱AA₁垂直于底面ABC，AA₁=2$\sqrt{2}$，D為BC中點(diǎn)．
（Ⅰ）若E為棱CC₁的中點(diǎn)，求證：A₁C⊥DE；
（Ⅱ）若點(diǎn)E在棱CC₁上，直線(xiàn)CE與平面ADE所成角為α，當(dāng)sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$時(shí)，求CE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明DE⊥A₁C．
（Ⅱ）求出平面ADE的法向量，由CE與平面ADE所成角α滿(mǎn)足sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，利用向量法能求出CE．

解答 （Ⅰ）證明：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，A₁（2$\sqrt{3}$，0，2$\sqrt{2}$），D（0，0，0），E（0，-2，$\sqrt{2}$），C（0，-2，0），
$\overrightarrow{DE}$=（0，-2，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-2$\sqrt{3}$，-2，-2$\sqrt{2}$），
∴$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=0+4-4=0，
∴DE⊥A₁C；
（Ⅱ）解：CE=a（0$≤a≤2\sqrt{2}$），則E（0，-2，a），A（2$\sqrt{3}$，0，0），$\overrightarrow{DA}$=（2$\sqrt{3}$，0，0），$\overrightarrow{DE}$=（0，-2，a）
設(shè)平面ADE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}x=0}\\{-2y+az=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（0，a，2），
設(shè)CE與平面ADE所成角為α，滿(mǎn)足sinα=$\frac{2a}{a\sqrt{{a}^{2}+4}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，∴a=1，即CE=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)線(xiàn)垂直的證明，考查滿(mǎn)足條件的線(xiàn)段長(zhǎng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．