Question

11．設(shè)x∈R，則函數(shù)f（x）=$\sqrt{1+{{cos}^2}x}+\sqrt{1+{{sin}^2}x}$的值域是（　　）

• A． [1+$\sqrt{2}$，6]
• B． [$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$]
• C． [1，1+$\sqrt{2}$]
• D． [1，$\sqrt{6}$]

Answer 1

分析 先平方求f²（x）的取值范圍即可得到結(jié)論．

解答 解：∵f（x）=$\sqrt{1+{{cos}^2}x}+\sqrt{1+{{sin}^2}x}$，
∴平方得f²（x）=1+cos²x+1+sin²x+2$\sqrt{（1+cos^2x）（1+sin^2x）}$
=3+2$\sqrt{2+cos^2xsin^2x}$=3+2$\sqrt{2+\frac{1}{4}sin^22x}$，
即當(dāng)sin²2x=0時(shí)，3+2$\sqrt{2+\frac{1}{4}sin^22x}$最小，
此時(shí)3+2$\sqrt{2+\frac{1}{4}sin^22x}$=3+2$\sqrt{2}$，
當(dāng)sin²2x=1時(shí)，3+2$\sqrt{2+\frac{1}{4}sin^22x}$最大，
此時(shí)3+2$\sqrt{2+\frac{1}{4}sin^22x}$=3+2$\sqrt{2+\frac{1}{4}}$=3+2×$\frac{3}{2}$=6，
即3+2$\sqrt{2}$≤f²（x）x≤6，
即$\sqrt{3+2\sqrt{2}}$≤f（x）≤$\sqrt{6}$，
則1+$\sqrt{2}$≤f（x）≤$\sqrt{6}$，
即函數(shù)的值域?yàn)閇1+$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$]，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)值域的求解，利用平方法，結(jié)合三角函數(shù)的公式和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．