Question

10．已知S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，a₁=1，S_n+1=4a_n+2．
（1）設(shè)數(shù)列{b_n}中，b_n=a_n+1-2a_n，求證：{b_n}是等比數(shù)列．
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}中，c_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，求證：{c_n}是等差數(shù)列．
（3）求數(shù)列{a_n}的通項公式及前n項和．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，S_n+1=4a_n+2．可得a₂=5，當(dāng)n≥2時，a_n+1=S_n+1-S_n，化為a_n+1=4a_n-4a_n-1，變形為：a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），即可證明．
（2）由（1）可得：b_n=3×2^n-1．a(chǎn)_n+1-2a_n=3×2^n-1，兩邊同除以2ⁿ⁺¹可得：$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}-\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{3}{4}$，即c_n+1-c_n=$\frac{3}{4}$．即可證明．
（3）由（2）可得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{3n-1}{4}$，可得a_n=（3n-1）×2^n-2．代入S_n+1=4a_n+2，即可得出．

解答 （1）證明：∵a₁=1，S_n+1=4a_n+2．
∴a₂=5，當(dāng)n≥2時，a_n+1=S_n+1-S_n=4a_n+2-（4a_n-1+2），化為a_n+1=4a_n-4a_n-1，
變形為：a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），
∴b_n=2b_n-1，
∴{b_n}是等比數(shù)列，首項為a₂-2a₁=3，公比為2．
（2）證明：由（1）可得：b_n=3×2^n-1．
∴a_n+1-2a_n=3×2^n-1，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}-\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{3}{4}$，
∴c_n+1-c_n=$\frac{3}{4}$．
∴數(shù)列{c_n}是等差數(shù)列，首項為$\frac{1}{2}$，公差為$\frac{3}{4}$．
（3）解：由（2）可得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}（n-1）$=$\frac{3n-1}{4}$．
∴a_n=（3n-1）×2^n-2．
∴S_n+1=4a_n+2=（3n-1）×2ⁿ+2．
∴當(dāng)n≥2時，S_n=（3n-4）×2^n-1+2，
上式對于n=1也成立．
∴S_n=（3n-4）×2^n-1+2．

點評 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、等比數(shù)列與等差數(shù)列通項公式，考查了變形能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．