Question

20．設(shè)f（x）是定義在R₊上的增函數(shù)，且f（xy）=f（x）+f（y）．
（1）求證：f（1）=0；
（2）若f（3）=1且f（a）＞f（a-1）+1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令x=y=1，即可．
（2）利用抽象函數(shù)的關(guān)系，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．

解答 證明：（1）∵f（x）是定義在R₊上的增函數(shù)，都有f（xy）=f（x）+f（y）．
∴當(dāng)x=y=1時(shí)，f（1）=f（1）+f（1），則f（1）=0
（2）若f（3）=1，
則f（a）＞f（a-1）+1等價(jià)為f（a）＞f（a-1）+f（3），
即f（a）＞f（3（a-1））=f（3a-3），
∵f（x）是定義在R₊上的增函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a-1＞0}\\{a＞3a-3}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a＞1}\\{a＜\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解得1＜a＜$\frac{3}{2}$，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，$\frac{3}{2}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)賦值法是解決本題的關(guān)鍵．