【題目】已知橢圓的離心率是,且過點.直線與橢圓相交于兩點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)求的面積的最大值;
(Ⅲ)設(shè)直線, 分別與軸交于點, .判斷, 大小關(guān)系,并加以證明.
【答案】(1)(2)(3)見解析
【解析】試題分析:
(1)由題意求得 ,所以橢圓的方程為.
(2) 聯(lián)立直線與橢圓的方程,由題意可得.三角形的高為.,面積表達式,當(dāng)且僅當(dāng)時, .即的面積的最大值是.
(3)結(jié)論為.利用題意有.所以.
試題解析:
解:(Ⅰ)設(shè)橢圓的半焦距為.
因為橢圓的離心率是,
所以 , 即 .
由 解得
所以橢圓的方程為.
(Ⅱ)將代入,
消去整理得.
令,解得.
設(shè).
則, .
所以
.
點到直線的距離為.
所以的面積
,
當(dāng)且僅當(dāng)時, .
所以的面積的最大值是.
(Ⅲ).證明如下:
設(shè)直線, 的斜率分別是, ,
則.
由(Ⅱ)得
,
所以直線, 的傾斜角互補.
所以,
所以.
所以.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》中的“兩鼠穿墻題”是我國數(shù)學(xué)的古典名題:“今有垣厚若干尺,兩鼠對穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,問何日相逢,各穿幾何?”題意是:“有兩只老鼠從墻的兩邊打洞穿墻,大老鼠第一天進一尺,以后每天加倍;小老鼠第一天也進一尺,以后每天減半.”如果墻足夠厚,為前天兩只老鼠打洞之和,則_________________尺.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),,.
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)時,討論函數(shù)與圖像的交點個數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】袋中裝有黑球和白球共7個,從中任取2個球都是白球的概率為,現(xiàn)有甲,乙二人從袋中輪流摸取1球,甲先取,乙后取,然后甲再取,……,取后不放回,直到兩人中有一人取到白球即終止,每個球在每一次被取出的機會是等可能的.
(Ⅰ)求袋中原有白球的個數(shù):
(Ⅱ)求取球次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】命題p:任意兩個等邊三角形都是相似的.
①它的否定是_________________________________________________________;
②否命題是_____________________________________________________________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)核素養(yǎng)與抽象(能力指標)、推理(能力指標)、建模(能力指標)的相關(guān)性,并將它們各自量化為1、2、3三個等級,再用綜合指標的值評定學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);若,則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為一級;若,則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為二級;若,則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為三級,為了了解某校學(xué)生的數(shù)學(xué)核素養(yǎng),調(diào)查人員隨機訪問了某校10名學(xué)生,得到如下結(jié)果:
學(xué)生編號 | ||||||||||
(1)在這10名學(xué)生中任取兩人,求這兩人的建模能力指標相同的概率;
(2)從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等級是一級的學(xué)生中任取一人,其綜合指標為,從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等級不是一級的學(xué)生中任取一人,其綜合指標為,記隨機變量,求隨機變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)函數(shù)在區(qū)間是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
(2)若存在,使得成立,求滿足條件的最大整數(shù);
(3)如果對任意的都有成立,求實數(shù)的范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】空間四邊形PABC的各邊及對角線長度都相等,D、E、F、G分別是AB、BC、CA、AP的中點,下列四個結(jié)論中成立的是
①BC∥平面PDF
②DF⊥平面PAE
③平面GDF∥平面PBC
④平面PAE⊥平面ABC.
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