Question

如圖，P是菱形ABCD所在平面外一點(diǎn)，Q是PA中點(diǎn)，且QB=QD．
（1）求證：PC∥平面QBD；
（2）求證：平面QBD⊥平面PAC．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）首先利用中點(diǎn)得出中位線進(jìn)一步證明線面平行
（2）利用菱形的性質(zhì)進(jìn)一步得到線線垂直，再利用線面垂直得到面面垂直．

解答： 證明：（1）連結(jié)OQ，AC，BD
∵Q是PA中點(diǎn)，O是AC的中點(diǎn)
OQ∥PC
OQ?平面QBD，PC?平面QBD
所以PC∥平面QBD
（2）A在菱形ABCD中，AC⊥BD
在△QBD中，QB=QD，
∴OQ⊥BD
∴BD⊥平面PAC．
∵BD?平面QBD
∴平面QBD⊥平面PAC

點(diǎn)評：本題考查的知識要點(diǎn)：中位線定理，線面平行的判定定理，菱形的性質(zhì)定理線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理．