已知拋物線(xiàn)y=x2上有一條長(zhǎng)為2的動(dòng)弦AB,則AB中點(diǎn)M到x軸的最短距離為
3
4
3
4
分析:設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=kx+b,與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立得到△>0即根與系數(shù)的關(guān)系,再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和基本不等式即可得出.
解答:解:設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=kx+b,聯(lián)立
y=kx+b
y=x2
,化為x2-kx-b=0,
由題意可得△=k2+4b>0.
∴x1+x2=k,x1x2=-b.
∵|AB|=
(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=
(1+k2)(k2+4b)
=2,
b=
4-k2-k4
4(1+k2)

AB中點(diǎn)M到x軸的距離=
y1+y2
2
=
x
2
1
+
x
2
2
2
=
(x1+x2)2-2x1x2
2

=
k2+2b
2
=
k2+
4-k2-k4
2(1+k2)
2

=
1
4
(k2+1+
4
1+k2
-1)
1
4
(2
(k2+1)•
4
k2+1
-1)
=
3
4

當(dāng)且僅當(dāng)k=±1是取等號(hào).
因此AB中點(diǎn)M到x軸的最短距離為
3
4

故答案為
3
4
點(diǎn)評(píng):熟練掌握拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立得到△>0即根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式和基本不等式等是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知拋物線(xiàn)y=x2上的兩點(diǎn)A、B滿(mǎn)足
AP
PB
,λ>0,其中點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,1),
OM
=
OA
+
OB
,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求四邊形OAMB的面積的最小值;
(2)求點(diǎn)M的軌跡方程.

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A、(-∞,-3]B、[1,+∞)C、[-3,1]D、(-∞,-3]∪[1,+∞)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知拋物線(xiàn)y=x2上的兩點(diǎn)A、B滿(mǎn)足=l,l>0,其中點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,1),=,O為坐標(biāo)原點(diǎn).

求四邊形OAMB的面積的最小值;

求點(diǎn)M的軌跡方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

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