已知函數(shù)f（x）=asinx+tanx（0＜x＜
π
2
）在x=
π
3
處的切線與直線9x-2y=0平行．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）求證函數(shù)y=f（x）=asinx+tanx（0＜x＜
π
2
）的圖象始終在直線y=2x的上方．
考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程
專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：（Ⅰ）由已知得f′(x)=acosx+
1
cos2x
，由此能求出a=1．
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x）-2x=sinx+tanx-2x，g′(x)=cosx+
1
cos2x
-2，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明函數(shù)y=f（x）=asinx+tanx（0＜x＜
π
2
）的圖象始終在直線y=2x的上方．
解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=asinx+tanx，0＜x＜
π
2
，
得f′(x)=acosx+
1
cos2x
，
由題意f′(
π
3
)=
9
2
，a=1，
∴a=1．
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x）-2x=sinx+tanx-2x，
g′(x)=cosx+
1
cos2x
-2
=
cos3x-2cos2x+1
cos2x

=
(cosx-1)(cos2x-cosx-1)
cos2x

=
(cosx-1)[cosx(cosx-1)-1]
cos2x
，
∵0＜cosx＜1，g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，
π
2
）上是增函數(shù)，∴g（x）＞g（0）=0，
∴sinx+tanx＞2x，
∴函數(shù)y=f（x）=asinx+tanx（0＜x＜
π
2
）的圖象始終在直線y=2x的上方．
點評：本題考查實數(shù)值的求法，考查函數(shù)y=f（x）=asinx+tanx（0＜x＜
π
2
）的圖象始終在直線y=2x的上方的證明，解題時要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=（x2-3x，1），
b
=（x，-tx+2），定義f（x）=
a
•
b
，有f（x）單調(diào)遞減區(qū)間是（k，3）．
（Ⅰ）求函數(shù)式y(tǒng)=f（x）及k的值；
（Ⅱ）若對?x∈[-2，4]，總有|f（x）-m|≤16（m∈Z），求實數(shù)m的值；
（Ⅲ）若過點（-2，n）能作出函數(shù)f（x）的三條切線，求實數(shù)n的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

化簡：
（1）
sin(
π
2
+α)•cos(
π
2
-α)
cos(π+α)
+
sin(π-α)•cos(
π
2
+α)
sin(π+α)

（2）log3（
427
3
）+lg25+lg4+7 log72．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax3-lnx（a∈R）．
（1）若f（x）的極小值為1，求a的值．
（2）若對任意x∈（0，1]，都有|f（x）|≥1成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知兩定點A（-5，0），B（5，0），C為動點
（1）若C在x軸上方，且△ABC是等腰直角三角形，求C點坐標(biāo)；
（2）若直線CA，CB的斜率乘積為-
16
25
，求C點坐標(biāo)（x，y）滿足的關(guān)系式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

解關(guān)于x的不等式
a(x-1)
x-2
＞2，其中a為常數(shù)，且a≤1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

從某小學(xué)隨機抽取100名學(xué)生，將他們的身高（單位：厘米）按照區(qū)間[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]進行分組，得到頻率分布直方圖（如圖）．
（Ⅰ）求直方圖中a的值；
（Ⅱ）若要從身高在[120，130），[130，140），[140，150]三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項活動，求從身高在[140，150]內(nèi)的學(xué)生中應(yīng)選取的人數(shù)；
（Ⅲ）這100名學(xué)生的平均身高約為多少厘米？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3-ax2+bx+c在x=1和x=3處取得極值，求a、b的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=（1，-3），
b
=（4，-2），若（λ
a
+
b
）∥
b
，則λ=
 
．

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