Question

（本小題12分）某創(chuàng)業(yè)投資公司擬投資開(kāi)發(fā)某種新能源產(chǎn)品，估計(jì)能獲得x∈[10,1000]萬(wàn)元的投資收益.現(xiàn)準(zhǔn)備制定一個(gè)對(duì)科研課題組的獎(jiǎng)勵(lì)方案：獎(jiǎng)金y（單位：萬(wàn)元）隨投資收益x（單位：萬(wàn)元）的增加而增加，且獎(jiǎng)金不超過(guò)9萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)投資收益的20%.
（Ⅰ）若建立函數(shù)f(x)模型制定獎(jiǎng)勵(lì)方案，試用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述公司對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)f(x)模型
的基本要求；
（Ⅱ）現(xiàn)有兩個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型：(i) y＝；(ii) y＝4lgx－3.試分析這兩個(gè)函數(shù)模型
是否符合公司要求？

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型為y＝f(x)，則公司對(duì)函數(shù)模型的基本要求是：
當(dāng)x∈[10，1000]時(shí)，①f(x)是增函數(shù)；②f(x)≤9恒成立；③恒成立.
（Ⅱ）（1）對(duì)于函數(shù)模型：當(dāng)x∈[10，1000]時(shí)，f(x)是增函數(shù)，
則.所以f(x)≤9恒成立.
因?yàn)楹瘮?shù)在[10，1000]上是減函數(shù)，所以.
從而，即不恒成立.故該函數(shù)模型不符合公司要求.                                   
（2）對(duì)于函數(shù)模型f(x)＝4lgx－3：當(dāng)x∈[10，1000]時(shí)，f(x)是增函數(shù)，
則. 所以f(x)≤9恒成立.     
設(shè)g(x)＝4lgx－3－，則.
當(dāng)x≥10時(shí)，，
所以g(x)在[10，1000]上是減函數(shù)，從而g(x)≤g(10)＝－1＜0.
所以4lgx－3－＜0，即4lgx－3＜，
所以恒成立.故該函數(shù)模型符合公司要求.

解析