Question

19．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和是S_n，且S_n=2a_n-n（n∈N^*）．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）記b_n=$\frac{{{a_n}+1}}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）由S_n=2a_n-n（n∈N^*），可得當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2a₁-1，解得a₁=1；由遞推式化為a_n+1=2a_n+1，變形為a_n+1+1=2（a_n+1）利用等比數(shù)列的定義即可證明；
（II）由（I）可得：a_n=2ⁿ-1．可得b_n=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 （I）證明：∵S_n=2a_n-n（n∈N^*），
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2a₁-1，解得a₁=1；
S_n+1=2a_n+1-（n+1），
∴S_n+1-S_n=2a_n+1-（n+1）-（2a_n-n），化為a_n+1=2a_n+1，
變形為a_n+1+1=2（a_n+1），
∴數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2；
（II）解：由（I）可得：a_n=2ⁿ-1．
b_n=$\frac{{{a_n}+1}}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$（\frac{1}{2-1}-\frac{1}{{2}^{2}-1}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}-1}-\frac{1}{{2}^{3}-1}）$+…+$（\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}）$=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推式的應(yīng)用、等比數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．