Question

11．已知向量$\overrightarrow m=（{sin\frac{x}{3}，-1}）$，$\overrightarrow n=（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}A，\frac{1}{2}Acos\frac{x}{3}}），（A＞0）$，函數(shù)f（x）=$\overrightarrow n•\overrightarrow m$的最大值為2．
（1）求f（x）的最小正周期和解析式；
（2）設(shè)α，β∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（3α+$\frac{π}{2}$）=$\frac{10}{13}$，f（3β+2π）=$\frac{6}{5}$，求sin（α-β）的值．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=$\overrightarrow n•\overrightarrow m$利用兩角差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得$f（x）=Asin（\frac{x}{3}-\frac{π}{6}）$，結(jié)合已知可求A的值，即可得解析式，由周期公式可求最小正周期．
（2）由（1）結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)f（3α+$\frac{π}{2}$）=$\frac{10}{13}$可得sinα，由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)f（3β+2π）=$\frac{6}{5}$可得cosβ，結(jié)合α，β的范圍，由同角三角函數(shù)關(guān)系式可求cosα，sinβ的值，由兩角差的正弦函數(shù)公式即可得解．

解答 解：∵f（x）=$\overrightarrow n•\overrightarrow m$，向量$\overrightarrow m=（{sin\frac{x}{3}，-1}）$，$\overrightarrow n=（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}A，\frac{1}{2}Acos\frac{x}{3}}），（A＞0）$，
∴$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}Asin\frac{x}{3}-\frac{1}{2}Acos\frac{x}{3}=A（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin\frac{x}{3}-\frac{1}{2}cos\frac{x}{3}}）=Asin（{\frac{x}{3}-\frac{π}{6}}）$…（3分）
因?yàn)楹瘮?shù)$f（x）=Asin（\frac{x}{3}-\frac{π}{6}）$，（A＞0）的最大值為2，
所以A=2，…（2分）
所以$f（x）=2sin（\frac{x}{3}-\frac{π}{6}）$…（3分）
f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{{\frac{1}{3}}}=6π$…（4分）
（2）∵$\frac{10}{13}$=f（3α+$\frac{π}{2}$）=2sin（$\frac{1}{3}×（3a+\frac{π}{2}）-\frac{π}{6}$）=2sinα，…（5分）
∴sinα=$\frac{5}{13}$，…（6分）
∵f（3β+2π）=2sin（$\frac{1}{3}$×（3β+2π）-$\frac{π}{6}$）=2cosβ=$\frac{6}{5}$，∴cos$β=\frac{3}{5}$．
∵α，β∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴cos$α=\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\frac{12}{13}$，sin$β=\sqrt{1-co{s}^{2}β}$=$\frac{4}{5}$…（8分）
∴sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=$\frac{5}{13}×\frac{3}{5}-\frac{12}{13}×\frac{4}{5}$=-$\frac{33}{65}$． …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，三角函數(shù)的周期性及其求法，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，平面向量的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題．