Question

18．在數(shù)列{a_n}中，a_n=cos$\frac{π}{3×{2}^{n-2}}$（n∈N^*）
（1）試將a_n+1表示為a_n的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=1-$\frac{2}{n•n!}$（n∈N^*），猜想a_n與b_n的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡求解遞推關(guān)系式即可．
（2）通過當(dāng)n=1時(shí)，當(dāng)n=2時(shí)，當(dāng)n=3時(shí)，計(jì)算結(jié)果猜想：當(dāng)n≥3時(shí)，a_n＜b_n，然后利用數(shù)學(xué)歸納法的坐標(biāo)方法證明即可．

解答 解：（1）${a_n}=cos\frac{π}{{3×{2^{n-2}}}}$=$cos\frac{2π}{{3×{2^{n-1}}}}$═$2{（{cos\frac{π}{{3×{2^{n-1}}}}}）^2}-1$∴${a_n}=2{a_{n+1}}^2-1$
∴${a_{n+1}}=±\sqrt{\frac{{{a_n}+1}}{2}}$
又n∈N^*，n+1≥2，a_n+1＞0∴${a_{n+1}}=\sqrt{\frac{{{a_n}+1}}{2}}$…（3分）
（2）當(dāng)n=1時(shí)，${a_1}=-\frac{1}{2}$，b₁=1-2=-1，∴a₁＞b₁
當(dāng)n=2時(shí)，${a_2}=\frac{1}{2}$，${b_2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，∴a₂=b₂
當(dāng)n=3時(shí)，${a_3}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，${b_3}=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$，∴a₃＜b₃…（4分）
猜想：當(dāng)n≥3時(shí)，a_n＜b_n，…（5分）
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
證：①當(dāng)n=3時(shí)，由上知，a₃＜b₃，結(jié)論成立．
②假設(shè)n=k，k≥3，n∈N^*時(shí)，a_k＜b_k成立，即${a_k}＜1-\frac{2}{k•k!}$
則當(dāng)n=k+1，${a_{k+1}}=\sqrt{\frac{{{a_k}+1}}{2}}$$＜\sqrt{\frac{{2-\frac{2}{k•k!}}}{2}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{k•k!}}$，${b_{k+1}}=1-\frac{2}{{（{k+1}）•（{k+1}）!}}$
要證a_k+1＜b_k+1，即證明${（{\sqrt{1-\frac{1}{k•k!}}}）^2}$$＜{（{1-\frac{2}{{（{k+1}）•（{k+1}）!}}}）^2}$
即證明$1-\frac{1}{k•k!}$$＜1-\frac{4}{{（{k+1}）•（{k+1}）!}}+{（{\frac{2}{{（{k+1}）•（{k+1}）!}}}）^2}$
即證明$\frac{1}{k•k!}-\frac{4}{{（{k+1}）•（{k+1}）!}}+{（{\frac{2}{{（{k+1}）•（{k+1}）!}}}）^2}＞0$
即證明$\frac{{{{（{k-1}）}^2}}}{{k（{k+1}）•（{k+1}）!}}+{（{\frac{2}{{（{k+1}）•（{k+1}）!}}}）^2}＞0$，顯然成立．
∴n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立．
綜合①②可知：當(dāng)n≥3時(shí)，a_n＜b_n成立．
綜上可得：當(dāng)n=1時(shí)，a₁＞b₁；當(dāng)n=2時(shí)，a₂=b₂
當(dāng)n≥3，n∈N^*時(shí)，a_n＜b_n   …（10分）

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查邏輯推理能力以及計(jì)算能力．